Princip neurčitosti

Heisenbergův princip neurčitosti (též relace neurčitosti) je matematická vlastnost dvou kanonicky konjugovaných veličin. Nejznámějšími veličinami tohoto typu jsou poloha a hybnost elementární částice v kvantové fyzice.

Heisenbergův princip říká, že čím přesněji určíme jednu z konjugovaných vlastností, tím méně přesně můžeme určit tu druhou - bez ohledu na to, jak dobré přístroje máme. To také znamená, že představa z klasické fyziky, že můžeme předpovědět chování systému, pokud známe jeho počáteční stav, je v praxi nepoužitelná: počáteční stav systému nikdy nemůžeme zjistit dostatečně přesně (protože nelze dostatečně přesně zjistit oba tyto konjugované parametry).

V poslední době se však ukazuje, že neplatí tak, jak se předpokládalo. I faktor π-násobku je nejasný.

Matematická formulace

Nejznámějším případem principu neurčitosti je pro standardní odchylky \Delta x a \Delta p_x , pro které platí :\Delta x \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}

kde \hbar je tzv. redukovaná Planckova konstanta, kterou zavedl Bohr (a pak Dirac začal označovat přeškrtnutým h). +more Tato relace nám říká, že nelze s libovolnou přesností změřit polohu a hybnost kvantově mechanické částice. Daná relace vychází z komutační relace pro příslušné operátory. V x-reprezentaci máme \hat{x}=x, \hat{p}_x=-i\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}, pro něž platí komutační relace.

:[\hat{x},\hat{p}_x]=i\hbar Obecně pro \hat{\vec{x}}=(x_1,x_2,x_3), \hat{\vec{p}}=(\hat{p}_1,\hat{p}_1,\hat{p}_1)platí :[\hat{x}_i,\hat{p}_j]=i\delta_{ij}\hbar kde \delta_{ij} je Kroneckerovo delta.

Dalším příkladem jsou složky operátoru celkového momentu hybnosti \hat{\vec{J}}, jejichž komutátor je [\hat{J}_i,\hat{J}_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{J}_k (\epsilon_{ijk} je Levi-Civitův symbol), pro něž pro i\neq j platí

: \Delta J_i \Delta J_j \geq \frac{\hbar}{2} \left|\left\langle J_k\right\rangle\right|

Často se uvádí, že platí i pro určení času a energie: :\Delta t \Delta E \geq \frac{\hbar}{2}

Problém je, že v kvantové mechanice neexistuje obecný časový operátor. Existují však speciální případy, kdy lze podobný operátor zavést. +more Např. při sledování rozpadající se částice lze definovat posunovací operátor \hat{T} reprezentující posuny v energetickém spektru, z jehož komutační relace [\hat{H},\hat{T}]=i\hat{I} plyne výše zmíněná relace neurčitosti.

Odvození

Princip neurčitosti má přímočaré matematické odvození, kde klíčovým krokem je uplatnění Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti (prvně užil Augustin Louis Cauchy roku 1821). Relace neurčitosti pak odpovídají vlastnostem Fourierovy transformace, kdy jisté spektrální šířce odpovídá minimální délka v původním prostoru. +more Proto se analogický klasický vztah také nazývá Gaborův limit.

Obecně se standardní odchylka měřitelné veličiny q definuje, jako{\displaystyle \sigma _{q}={\sqrt {\langle {\hat {q}}^{2}\rangle -\langle {\hat {q}}\rangle ^{2}}}}a pro operátory \hat{A},\hat{B} lze pak psát

\sigma_A \sigma_B \geq \left| \frac{1}{2i}\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle \right|

Historie

Heisenbergův spolupracovník byl také Hendrik Kramers, známý také pro Kramersovy-Kronigovy relace (matematicky zvané Hilbertova transformace). Roku 1925 spolu vytvořili tzv. +more Kramersův-Heisenbergův vzorec. Následný článek Heisenberga, který vyšel téhož roku, byl zlomem pro interpretace kvantové mechaniky. Roku 1926 Paul Dirac dokončil vývoj transformační teorie v Hilbertově prostoru. Na tu navázal Heisenberg svou prací z roku 1927. Sám Heisenberg ale používal jinou verzi rovnice.

\Delta x \, \Delta p\gtrsim h

kde nejasně definoval neurčitosti. Moderní verzí je

\sigma_x\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}

kde \sigma značí směrodatnou odchylku.

Reference

Související články

Kvantová fyzika * Dualita částice a vlnění

Externí odkazy

[url=https://web. archive. +moreorg/web/20070523145359/http://www. jreichl. com/fyzika/vyuka/texty/kvantmech. htm#heisrel]Kvantová mechanika pro zvídavé[/url] * [url=http://physics. mff. cuni. cz/kchfo/kapsa/skriptaKM/km. pdf]Kvantová mechanika pro učitele[/url] * [url=https://web. archive. org/web/20081203032333/http://www. fjfi. cvut. cz/files/k402/files/skripta/kvant/Mechanik. pdf]Slabikář kvantové mechaniky[/url].

Kategorie:Kvantová fyzika Kategorie:Kvantová mechanika Kategorie:Principy