Projekce (lineární algebra)

V lineární algebře a funkcionální analýze je projekce lineární transformace P nějakého vektorového prostoru na sebe taková, že P^2=P . To znamená, že pokud P aplikujeme na jakoukoli hodnotu opakovaně, výsledek je stejný, jako kdybychom ji použili jen jednou (je to idempotentní zobrazení, které nemění prostor svých obrazů). Tato definice formalizuje a zobecňuje myšlenku geometrické projekce.

Definice

Projekce na vektorovém prostoru V je lineární operátor P : V \mapsto V takový, že P^2 = P.

Pokud V má skalární součin a je úplný (tj. když V je Hilbertův prostor), lze použít pojem ortogonality. +more Projekce P na Hilbertově prostoru V se nazývá ortogonální projekce, pokud platí \langle Px, y \rangle = \langle x, Py \rangle pro všechny x,y \in V. Projekce na Hilbertově prostoru, která není ortogonální, se nazývá šikmá projekce.

Projekční matice

V konečnědimenzionálním případě se čtvercová matice P nazývá projekční matice, pokud se rovná svému čtverci, tzn P^2 = P. * Čtvercová matice P se nazývá ortogonální projekční matice, pokud P^2 = P = P^{\mathrm T} pro reálnou matici, resp P^2 = P = P^{\mathrm H} pro komplexní matici, kde P^{\mathrm T} označuje transponování P a P^{\mathrm H} označuje hermitovsky sdruženou matici k P. +more * Projekční matice, která není ortogonální, se nazývá šikmá projekční matice .

Vlastní hodnoty projekční matice musí být 0 nebo 1.

Příklady

Ortogonální projekce

Například funkce, která mapuje bod (x,y,z) v trojrozměrném prostoru \mathbb{R}^3 do bodu (x,y,0), je ortogonální projekce na rovinu určenou souřadnými osami x a y . Tato funkce je reprezentována maticí

: P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

Akce této matice na obecný vektor je

: P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}.

Že P je skutečně projekce, tj. P=P^2, dokážeme takto:

: P^2 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix} = P\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.

Jelikož P^{\mathrm T} = P, tak tato projekce je ortogonální.

Šikmá projekce

Jednoduchý příklad neortogonální (šikmé) projekce je

: P = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix}.

Prostřednictvím násobení matic vidíme

: P^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = P.

To dokazuje, že P je opravdu projekce.

Projekce P je ortogonální tehdy a jen tehdy, jestliže \alpha = 0, protože teprve potom P^{\mathrm T} = P .

Vlastnosti a klasifikace

Transformace T je projekce podél k na m. Oborem hodnot T je m a nulový prostor je k..

Idempotence

Podle definice je každá projekce P idempotent (tj P^2 = P ).

Komplementarita oboru hodnot a jádra

Nechť W je konečnorozměrný vektorový prostor a P projekce na W. Předpokládejme, že podprostory U a V jsou obraz a jádro P. +more Pak P má následující vlastnosti:.

# P je operátor identity I na U #: \forall x \in U: Px = x . # Lze psát W = U \oplus V, tj. +more každý vektor x \in W může být jedinečně rozložen jako x = u + v, přičemž u = Px a v = x - Px = (I-P)x, a u \in U, v \in V.

Obraz a jádro projekce jsou komplementární stejně jako jsou komplementární operátory P a Q = I - P . Operátor Q je také projekce, jejíž obraz je jádro P, a jeho jádro naopak obrazem Q.

Spektrum

I ve vektorových prostorech nekonečné dimenzí (stejně jako u konečné dimenze) je spektrum projekce obsaženo v množině \{0,1\}, jelikož

: (\lambda I - P)^{-1}= \frac 1 \lambda I+\frac 1{\lambda(\lambda-1)} P.

Pouze 0 nebo 1 může být vlastním číslem projekce, což značí, že P je vždy pozitivně semi-definitivní operátor/matice. Odpovídající vlastní prostory jsou jádrem a obrazem projekce. +more Rozklad vektorového prostoru na přímé součty není obecně jedinečný. Proto k podprostoru V může existovat mnoho různých projekcí, jejichž obraz (nebo jádro) je V .

Pokud je projekce netriviální, má minimální polynom x^2-x = x(x-1), který má různé kořeny, a tedy P je diagonalizovatelná.

Součin projekcí

Součin projekcí není sám obecně projekcí, i když jde o součin ortogonálních projekcí. Pokud projekce komutují, je jejich součin projekcí.

Reference

Kategorie:Lineární algebra Kategorie:Funkcionální analýza