Prostor elementárních jevů

Technology

12 hours ago

Author

Prostor elementárních jevů nebo výběrový prostor v teorii pravděpodobnosti je množina \Omega všech různých výsledků náhodného pokusu.

Každý prvek této množiny \omega \in \Omega se nazývá elementární jev. Prostor elementárních jevů se nazývá diskrétní, pokud je množina \Omega konečná nebo spočetná. +more Ne každý prostor elementárních jevů je diskrétní, a pokud pozorované výsledky (které nelze nazývat náhodné jevy) jsou reálná čísla nebo body v souřadnicovém prostoru, prostor se nazývá spojitý (kontinuum). Prostor elementárních jevů \Omega společně s algebrou událostí \mathcal{F} a pravděpodobností \mathbf{P} tvoří trojici (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}), která se nazývá pravděpodobnostní prostor.

Elementární jev

V teorii pravděpodobnosti jsou elementární jevy takové výsledky náhodného pokusu, že při pokusu nastane pokaždé právě jeden. Množina všech elementárních jevů se obvykle označuje \Omega.

Každá podmnožina množiny elementárních událostí \Omega, se nazývá náhodný jev. Říkáme, že výsledkem náhodného pokusu byl náhodný jev A \subset \Omega, pokud (elementární) výsledek pokusu je prvkem A.

V definici pravděpodobnostního prostoru na množině náhodných jevů se zavádí konečná sigma-aditivní míra nazývaná pravděpodobnost.

Pravděpodobnost každého elementárního jevu může být kladná, nulová, nejasná, nebo jakoukoli kombinaci těchto možností. Například každé diskrétní rozdělení pravděpodobnosti určuje pravděpodobnosti toho, co lze nazvat elementární jevy. +more Naopak u spojitých rozdělení mají všechny elementární jevy nulovou pravděpodobnost. Smíšená rozdělení, která nejsou ani spojitá ani diskrétní, mohou obsahovat jevy, které lze považovat za elementární s nenulovou pravděpodobností. V teorii míry při určování pravděpodobnosti libovolného elementárního jevu nelze určit dokud matematici neurčí rozdíl mezi prostorem elementárních jevů S a jevů které jsou předmětem zájmu a které jsou definovány jako prvky sigma algebry jevů S.

Formálně jsou elementární jevy ty podmnožiny prostoru výsledků náhodného pokusu, které obsahují pouze jediný prvek; čili elementární jevy jsou stále množiny. Pro zjednodušení se však jako elementární jevy často uvažují jednotlivé prvky, když to nemůže vést k nedorozuměním.

Příklady

Příklady prostorů \Omega výsledků náhodných pokusů a elementární jevů:

* Pokud jsou objekty spočetné a prostorem elementárních jevů je množina přirozených čísel \Omega = \{ 0, 1, 2, 3, . \} = \mathbb {N}, pak elementárním jevem je každá jednoprvková množina obsahující přirozené číslo: \{ k \}, kde k \in \mathbb{N}. +more * Pokud uvažujeme dvojici hodů mincí, pak \Omega = \{ HH, HO, OH, OO \}, kde H je hlava, a O orel, elementární jevy jsou: \{ HH \}, \{ HO \}, \{ OH \} a \{ OO \}. * Je-li X náhodná veličina s normálním rozdělením a \Omega = \{ - \infty, \infty \} (množina reálných čísel), pak elementárním jevem je každá jednoprvková množina \{ x \}, kde x \in \mathbb{R}. Tento příklad ukazuje, že spojité rozdělení pravděpodobnosti neudává pravděpodobnosti elementárních jevů, protože v tomto případě jsou pravděpodobnosti všech elementárních jevů nulové.