Cesko.wiki Prüferův obor
Author
Albert FloresPrüferův obor je pojem z matematiky, konkrétněji z teorie okruhů. Jedná se o obory, které sdílejí vlastnosti s Dedekindovými obory, přestože nemusí být noetherovské. Tvrzení o ideálech a modulech známá v případě Dedekindových oborů pro ně ovšem platí jen v případě konečně generovaných modulů. Prüferovy okruhy nesou své jméno po německém matematikovi Heinzovi Prüferovi.
Definice
Prüferův okruh je takový komutativní okruh bez dělitelů nuly, v kterém je každý konečně generovaný ideál invertibilní vzhledem k násobení ideálů.
Existuje ovšem velké množství ekvivalentních definic. Například kterákoliv z následujících vlastností je v případě oboru integrity R ekvivalentní tomu, že se jedná o Prüferův obor: * Každý nenulový konečně generovaný ideál I oboru R je invertibilní, to jest \ I \cdot I^{-1} = R, kde I^{-1} = \{r\in q(R): rI\subseteq R\} a \ q(R) je podílové těleso. +more * Každý nenulový ideál generovaný dvěma prvky je invertibilní. * Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály I,J,K z R platí I \cap (J + K) = (I \cap J) + (I \cap K). * Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály I,J,K z R platí I(J \cap K)=IJ \cap IK. * Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály I,J,K z R platí (I+J)(I \cap J) = IJ. * Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály I,J,K z R platí, že pokud IJ=IK, pak J=K nebo I=0.
Vlastnosti
Pokud R je Prüferův obor a K je jeho podílové těleso, pak je Prüferův i každý okruh S splňující R\subseteq S\subseteq K.
Příklady
Okruh všech celých funkcí v otevřené komplexní rovině \mathbb je Prüferův obor.