Reciproký polynom

Reciproký polynom je mnohočlen vyznačující se symetrií svých koeficientů (i kořenů). Tato vlastnost pak pomáhá určit některé jeho kořeny.

Nechť je dán mnohočlen

P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x+ a_0\,\,\, a_n \neq 0.

pak jej nazýváme * reciproký mnohočlen 1. druhu (kladně reciproký), jestliže a_k=a_{n-k}\,\,\, k=0,1,\ldots,n * reciproký mnohočlen 2. +more druhu (záporně reciproký), jestliže a_k=-a_{n-k}\,\,\, k=0,1,\ldots,n.

Kořeny

Z definice reciprokého polynomu plyne, že je-li kořenem číslo c, potom je kořenem také převrácené (reciproké) číslo \dfrac{1}{c}, odtud název. Reciproký polynom zřejmě nemůže mít nulový kořen.

Naopak pokud tato podmínka platí pro všechny kořeny mnohočlenu, musí se již jednat o reciproký mnohočlen.

Hledání kořenů reciprokého polynomu je hledáním řešení reciproké rovnice.

Reciproký polynom druhého druhu má vždy kořen c=1.

Reciproký polynom prvního druhu lichého stupně má kořen c=-1.

U polynomu prvního druhu sudého stupně se používá substituce:

:y = x+\dfrac{1}{x}

Literatura

Emanovský P. (1998). +more Cvičení z algebry (polynomy, algebraické rovnice). VUP Olomouc. * Emanovský P. (2002). Algebra 2, 3 (pro distanční studium). VUP Olomouc. * BLAŽEK J. , KOMAN M. , VOJTÁŠKOVÁ (1985). Algebra a teoretická aritmetika, II. díl. Praha: SPN.

Kategorie:Matematická terminologie Kategorie:Polynomy Kategorie:Algebra