Riemannova věta

Je-li reálná řada \sum_{n=1}^{\infty} a_n neabsolutně konvergentní, pak ke každému S \in \mathbb{R} existuje přerovnání \phi :\mathbb{N} \to \mathbb{N} takové, že \sum_{n=1}^{\infty} a_{\phi(n)} = S. Rovněž existuje oscilující přerovnání \phi:\mathbb{N} \to \mathbb{N} této řady.

Důkaz

Nejprve si uvědomme, že platí \sum_{i=1}^{\infty} a_i^+ = \sum_{i=1}^{\infty} a_i^- = \infty, kde a_i^+ značí kladnou část čísla a_i, tedy a_i^+ = \max(a_i, 0), a_i^- značí zápornou část tohoto čísla: a_i^- = \max(-a_i, 0). Je tedy a_i = a_i^+ - a_i^- a |a_i| = a_i^+ + a_i^-. +more To znamená, že původní řada musí obsahovat nekonečně mnoho kladných a nekonečně mnoho záporných členů, tedy je mohu stále vybírat a nikdy nedojdou. * Je-li S , pak přeskočím následující krok. * Najdu takové přirozené číslo n, pro které platí \sum_{i=1}^n a_i^+ > S. Tento součet označím T_1. Všimnu si, že jsem vlastně pouze sečetl všechny kladné členy této řady až do indexu n. * Nyní najdu další přirozené číslo m takové, aby \sum_{i=1}^m a_i^- + T_1. Tento součet označím T_2 a pokračuji předchozím krokem. Protože je původní řada konvergentní, budou se součty T_1 a T_2 postupně blížit k požadovanému S.

Související články

Řada

Literatura

Rektorys, K. a spol. +more: Přehled užité matematiky I. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. * Derbyshire John : Posedlost prvočísly. Galileo, Praha, 2007, 1. vydání. * Křížek Michal, Sommer Lawrence, Šolcová Alena : Kouzlo čísel. Galileo, Praha, 2011, 2. vydání.

Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Matematické řady