Cesko.wiki Rungeova–Kuttova metoda
Author
Albert FloresRungeova-Kuttova metoda je metoda pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic, kterou kolem roku 1900 vytvořili němečtí matematici Carl Runge a Wilhelm Kutta, případně některá z podobných metod (společně jsou zvané Rungeovy-Kuttovy metody).
Rungeova-Kuttova metoda hledá přibližné řešení rovnice \dot{y} = f(t, y) s okrajovou podmínkou y(t_0) = y_0. Přitom y = y(t) je neznámá skalární nebo vektorová funkce času t, kterou chceme aproximovat. +more Známe funkci f, propojující časovou derivaci \dot{y} s hodnotou y a časem t, a známe také počáteční čas t_0 a odpovídající hodnotu y v tomto čase, která je y_0.
K odhadu y klasickou Rungeovou-Kuttovou metodou (též označovanou RK4) je nejprve potřeba zvolit vhodný krok h > 0. Na jeho základě definujeme
:\begin{align} y_{n+1} &= y_n + \tfrac{1}{6}\left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right),\\ t_{n+1} &= t_n + h \\ \end{align}
pro n = 0, 1, 2, 3, . , přičemž : \begin{align} k_1 &= h\ f(t_n, y_n), \\ k_2 &= h\ f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_1}{2}\right), \\ k_3 &= h\ f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_2}{2}\right), \\ k_4 &= h\ f\left(t_n + h, y_n + k_3\right). +more \end{align}.
Číslo y_{n} je aproximace hodnoty y(t_{n}). Aproximace se počítají jako vážené průměry čtyř jednodušších odhadů k_1 až k_4. +more Zdůvodnění tohoto postupu vychází ze Simpsonova pravidla pro integrál rovnice za předpokladu, že f nezávisí na y.
Popsaná metoda dosahuje v jednom kroku chyby v řádu O(h^5) a celkově akumulované chyby v řádu O(h^4). Neuvažujeme-li vliv zaokrouhlovacích chyb, tak menší krok obvykle vede k přesnějšímu odhadu, avšak za cenu více počítání.