Cesko.wiki Slaterův determinant
Author
Albert FloresV kvantové mechanice je Slaterův determinant výraz, který popisuje vlnovou funkci multi-fermionového systému, který splňuje antisymetrický princip. Tento princip uvádí, že pro systém fermionů musí být vlnová funkce antisymetrická vzhledem k záměně všech (prostorových a spinových) souřadnic jednoho fermionu s jinými. Pauliho vylučovací princip je přímým důsledkem antisymetrického principu.
John C. Slater představil determinant jako prostředek k zajištění antisymetrie vlnové funkce v roce 1929 a takovýto determinant tedy nese jeho jméno, i když se vlnová funkce ve tvaru determinantu už objevila nezávisle v článcích Heisenberga a Diraca tři roky předtím.
Slaterův determinant vychází z vlnové funkce pro systém elektronů, kde každý má vlnovou funkci ve tvaru spinorbitalu, \chi(\mathbf{x}), kde (\mathbf{x}) označuje polohu a spin jednoho elektronu. Slaterův determinant obsahující dva elektrony se stejným spinorbitalem odpovídá vlnové funkci, která je všude nulová.
Antisymetrie
Přestože nerelativistický hamiltonián nezahrnuje spin, musíme jej brát v úvahu. Důvodem je, aby elektronová vlnová funkce mohla splnit velmi důležitý požadavek, kterým je princip antisymetrie. +more Tento princip uvádí, že pro systém fermionů musí být vlnová funkce antisymetrická vzhledem k záměně všech (prostorových a spinových) souřadnic jednoho fermionu s jinými.
Pauliho vylučovací princip je přímým důsledkem antisymetrického principu. Pauliho vylučovací princip lze obecněji vyjádřit pro fermiony a bosony následovně: Celková vlnová funkce musí být antisymetrická při záměně libovolné dvojice identických fermionů a symetrická při záměně libovolné dvojice identických bosonů .
Matematicky záměnu můžeme definovat jako permutační operátor \hat{P}_{ij}, což je operátor, který zaměňuje souřadnice elektronů i a j. Zápis Pauliho principu pro systém N elektronů je
: \hat{P}_{ij}\Psi_{el} (\mathbf{q}_1,\ldots,\mathbf{q}_i,\ldots,\mathbf{q}_j,\ldots\mathbf{q}_N)=-\Psi_{el} (\mathbf{q}_1,\ldots,\mathbf{q}_j,\ldots,\mathbf{q}_i,\ldots\mathbf{q}_N),
kde \mathbf{q} zahrnuje jak prostorové souřadnice, tak i spinovou funkci .
Řešení
Dvou-elektronový systém
Aby vlnová funkce splňovala princip antisymetrie, pak například pro dvou elektronový systém musí mít tvar
: \Psi(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}[\chi_1(\mathbf{x}_1)\chi_2(\mathbf{x}_2)-\chi_1(\mathbf{x}_2)\chi_2(\mathbf{x}_1)],
kde \frac{1}{\sqrt{2}} je normalizační faktor. Uvedené řešení předcházející rovnice lze zapsat pomocí determinantu. +more V případě dvou elektronů můžeme přepsat funkční formu rovnice výše jako.
: \Psi(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{vmatrix} \chi_1(\mathbf{x}_1) & \chi_2(\mathbf{x}_1)\\ \chi_1(\mathbf{x}_2) & \chi_2(\mathbf{x}_2)\\ \end{vmatrix}.
Pokud se pokusíme dát současně dva elektrony do stejné orbity (tj. \chi_1=\chi_2), jsou dva sloupce determinantu stejné, a to odpovídá situaci, ve které jsou dva elektrony ve stejném stavu. +more Determinant je pak rovný nule.
: \Psi(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2)=0,
a pravděpodobnost tohoto stavu je taktéž nulová. Determinant splňuje Pauliho vylučovací princip, který je důsledkem antisymetrického principu.
Zobecnění
Obecně můžeme pro N elektronů zavést determinant ve tvaru
: \Psi(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots,\mathbf{x}_N)=\frac{1}{\sqrt{N!}}\begin{vmatrix} \chi_1(\mathbf{x}_1) & \chi_2(\mathbf{x}_1) & \ldots & \chi_N(\mathbf{x}_1)\\ \chi_1(\mathbf{x}_2) & \chi_2(\mathbf{x}_2)& \ldots & \chi_N(\mathbf{x}_2)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \chi_1(\mathbf{x}_N) & \chi_2(\mathbf{x}_N) & \ldots & \chi_N(\mathbf{x}_N)\\ \end{vmatrix}.
Všechny prvky v daném sloupci determinantu zahrnují stejný spin-orbital, zatímco prvky ve stejném řádku zahrnují stejný elektron. Vzhledem k tomu, že výměna řádků a sloupců neovlivňuje hodnotu determinantu, mohli bychom napsat determinant v jiné, ekvivalentní formě. +more Záměna dvou řádků tedy záměna dvou částic jen změní znaménko determinantu podle antisymetrického principu .