Cesko.wiki Sylvesterova matice
Author
Albert FloresSylvesterova matice je matice čtvercová, která se používá v lineární algebře. Je pojmenována po Jamesi Josephovi Sylvesterovi, který ji poprvé studoval a publikoval její vlastnosti. Sylvesterova matice je složena z dvou částí - horní trojúhelníkové matice a dolní inverzní matice. Její vlastnosti jsou důležité především v teorii lineárních operátorů a v algebře. Sylvesterova matice je také důležitá v analytické geometrii a algebraické topologii. Její použití se však neomezuje jen na tyto oblasti, ale nachází uplatnění také v jiných odvětvích matematiky, fyziky a informatiky. Sylvesterova matice se stala nezbytnou součástí moderního výzkumu a vývoje v mnoha oblastech vědy.
Sylvesterova matice je v algebře zvláštní matice definovaná pro dvojici mnohočlenů v jedné neznámé, jejíž koeficienty jsou určeny koeficienty těchto mnohočlenů a jejímž determinantem je rezultant těchto polynomů. Je pojmenována po britském matematikovi Jamesi Josephu Sylvesterovi.
Formální definice
Nechť je R komutativní okruh. Pro dva mnohočleny f=\sum_{i=0}^m f_i X^i a g=\sum_{i=0}^n g_i X^i stupně m,n z okruhu mnohočlenů R[x] se Sylvestrovou maticí rozumí čtvercová matice stupně m+n s podobou :\operatorname{Syl}(f,g)= \begin{pmatrix} f_m & & \cdots & & f_0 & & & \\ & f_m & & \cdots & & f_0 & & \\ & & \ddots & & & & \ddots & \\ & & & f_m & & \cdots & & f_0 \\ g_n & & \cdots & & g_0 & & & \\ & g_n & & \cdots & & g_0 & & \\ & & \ddots & & & & \ddots & \\ & & & g_n & & \cdots & & g_0 \\ \end{pmatrix}
Příklad
Pro mnohočleny stupně 4 a 3 vypadá Sylvesterova matice následovně :\operatorname{Syl}{f,g}=\begin{pmatrix} f_4 & f_3 & f_2 & f_1 & f_0 & 0 & 0 \\ 0 & f_4 & f_3 & f_2 & f_1 & f_0 & 0 \\ 0 & 0 & f_4 & f_3 & f_2 & f_1 & f_0 \\ g_3 & g_2 & g_1 & g_0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & g_3 & g_2 & g_1 & g_0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & g_3 & g_2 & g_1 & g_0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & g_3 & g_2 & g_1 & g_0 \end{pmatrix}.