Cesko.wiki Sylvesterův zákon setrvačnosti
Author
Albert FloresSylvesterův zákon setrvačnosti je matematické tvrzení z oboru lineární algebry charakterizující vyjádření kvadratické formy diagonální maticí.
Znění věty
Pro každou kvadratickou formu f existuje báze, vůči které má f diagonální matici s prvky -1,0,1. Navíc, tato matice je, až na pořadí prvků, jednoznačná.
Důkaz
Existence
Buď A matice formy f. A je symetrická, takže existuje její spektrální rozklad A=Q\Lambda Q^T, kde \Lambda = \rm diag (\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n). +more Čili \Lambda=Q^T A Q je diagonalizace formy. Pro -1,1 na diagonále provedeme úpravu \Lambda 'Q^T A Q \Lambda ', kde \Lambda ' je diagonální matice s prvky \Lambda '_{ii}=|\lambda_i|^{-1/2} pro \lambda_i\neq0 a \Lambda '_{ii}=0 pro \lambda_i=0.
Jednoznačnost
Nechť existují dvě různé diagonalizace D,D' pro bázi B=\{w_1,w_2,\dots,w_n\} a B'=\{w'_1,w'_2,\dots,w'_n\} prostoru V. Buď u\in V libovolné a nechť má souřadnice x=[u]_B a y=[u]_{B'}. Pak
f(u)=x^T D x = x_1^2+\dots+x_p^2-x_{p+1}^2-\dots-x_q^2+0x_{q+1}^2+\dots+0x_n^2,
f(u)=y^T D y = y_1^2+\dots+y_p^2-y_{p+1}^2-\dots-y_q^2+0y_{q+1}^2+\dots+0y_n^2.
Platí q=t, protože D=S^T D' S pro nějakou regulární S. Proto D,D' mají stejnou hodnost. +more Ukažme, že nutně p=s. BÚNO nechť p>s. Definujme prostoryP=\text{span}(w_1,w_2,\dots,w_p) a R=\text{span}(w'_{s+1},w'_{s+2},\dots,w'_n). Pak \text{dim} (P \cap R) = \text{dim} P + \text{dim} R - \text{dim} (P + R) \leq p + (n - s) - n = p - s \leq 1.
Tedy existuje nenulový y \in P \cap R a pro něj máme u = \sum_{i=1}^p x_i w_i = \sum_{j=s+1}^n y_j w'_j z čehož dostaneme f(u) = x_1^2+. +x_p^2 > 0 a zároveň f(u)= -y_{s+1}^2-. +more-y_t^2\leq 0 , což je spor.