Kvadratická forma

Kvadratická forma je zúžením (restrikcí) bilineární formy. Jde o zobrazení jen jednoho vektoru, který však představuje oba argumenty příslušné bilineární formy. Kvadratické formy jsou ústředním matematickým aparátem, vyskytují se například v teorii čísel, Riemanově geometrii (jako křivosti křivek) a mnoha dalších. Jsou také všude ve fyzice a chemii, jako energie systému, zvláště pak co se týče matematických norem, které vedou k využití v Hilbertových prostorech.

Definice

Nechť \xi:Y \times Y \rightarrow T je bilineární forma na vektorovém prostoru Y nad tělesem T. Pak funkce :f: Y \rightarrow T : \mathbf{h}\mapsto \xi(\textbf{h},\textbf{h})

se nazývá kvadratická forma na Y.

Základní vlastnosti

Všechny kvadratické formy jsou homogenní funkce 2. řádu, tzn. :f(t\textbf{h})=t^2f(\textbf{h}) pro všechna t \isin \mathbb{R} a \textbf{h} \isin Y.

Nejběžnější kvadratická forma je :f(\textbf{h})=\textbf{h} \cdot \textbf{h}=h_1^2+h_2^2+...+h_n^2=||\textbf{h}||^2

Kvadratickou formu f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R} můžeme ve složkách rozepsat jako :f(\mathbf{h})=\sum_{i,j=1}^d a_{ij}h_i h_j,

kde a_{ij} jsou složky symetrické matice typu d\times d.

Druhy kvadratických forem

Kvadratická forma f: Y \rightarrow \mathbb{R} na euklidovském prostoru Y se nazývá

# pozitivně definitní, jestliže \forall \textbf{h}\in Y platí f(\textbf{h})>0 # pozitivně semidefinitní, jestliže \forall \textbf{h}\in Y platí f(\textbf{h})\geq 0 # negativně definitní, jestliže \forall \textbf{h}\in Y platí f(\textbf{h}) # negativně semidefinitní, jestliže \forall \textbf{h}\in Y platí f(\textbf{h})\leq 0 # indefinitní, jestliže \exist \mathbf{h_1},\mathbf{h_2}\in Y taková, že f(\mathbf{h_1})>0 a f(\mathbf{h_2}).

Literatura

Související články

Bilineární forma * Binární kvadratická forma * Lineární forma * Lineární zobrazení * Multilineární forma

Externí odkazy

Kategorie:Lineární algebra