Symplektický vektorový prostor

Symplektický vektorový prostor je pojem z matematiky, přesněji z lineární algebry.

Symplektický vektorový prostor formalizuje některé vlastnosti Hamiltonovy mechaniky a je analogický prostorům se skalárním součinem.

Definice

Dvojici (V, \omega) nazveme symplektický vektorový prostor, pokud V je vektorový prostor a \omega je bilineární antisymetrická nedegenerovaná forma.

Pokud V je konečné dimenze, je slovo nedegenerovanost jednoznačné. Pokud je V nekonečné dimenze, označuje v literatuře slovo nedegenerovanost převážně následující dva pojmy. +more Bilineární formu \omega: V \times V \to \mathbb{R} nazveme nedegenerovanou, pokud o: V \to V^* definované předpisem o(v)w:=\omega(v,w) je izomorfizmus vektorových prostorů. Druhé pojetí definuje \omega nedegenerovanou, pokud \omega(v,w)=0 pro každé w\in V, pak je v=0.

(Většinou z hlediska aplikací rozdílnost těchto dvou pojmů není podstatná.)

Tvrzeni

Pokud je symplektický vektorový prostor konečné dimenze, potom dimenze V je sudá.

Symplektická báze

Nechť V je konečné dimenze 2n. Bázi \{e_i\}_{i=1}^{2n} prostoru V nazveme symplektickou, pokud \omega(e_i, e_j)=1, pokud i=1,\ldots, n a j=n+i; \omega(e_i,e_j)=-1, pokud i=n+1,\ldots, 2n a j=2n-i a pro ostatní dvojice e_i, e_j je \omega(e_i,e_j)=0.

(Někdy je znaménková konvence v literatuře opačná k té zvolené zde.)

Lineární Darbouxova věta

Tato věta je paralelní k větě o setrvačnosti kvadratických forem a je speciální formou (důsledkem) Darbouxovy věty pro hladké variety.

Tvrzení: Pro každý symplektický vektorový prostor existuje jeho symplektická báze.

Symplektická grupa

Grupou symetrie symplektického vektorové prostoru je tzv. symplektická grupa, která je označována Sp(V, \omega). +more Přesněji definujeme Sp(V,\omega):=\{g \in Aut(V); \omega(gv,gw)=\omega(v,w) \forall v, w \in V\}.

Tvrzení: Symplektická grupa je Lieova grupa, pokud V je reálný nebo komplexní vektorový prostor.

Související pojmy

Symplektická varieta * Hamiltonova mechanika: Fázový prostor spolu s formou dp_id q^i je symplektický vektorový prostor.

Literatura

Arnold, V. , Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997. +more * Marsden, J. , Ratiu, T. S. , Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer-Verlag, Texts in applied Mathematiocs, 1992. * Thirring, W. , Lehrbuch der mathematischen Physik: Klassische dynamische Systeme, Springer Verlag Wien - New York.

Kategorie:Lineární algebra