Cesko.wiki Tropický polookruh
Author
Albert FloresTropický polookruh je v idempotentní analýze polookruh rozšířených reálných čísel s operacemi minima (nebo maxima) a sčítání, které nahrazují obvyklé („klasické“) operace sčítání a násobení.
Tropický polookruh má různé aplikace (viz tropická analýza), a tvoří základ tropické geometrie. Přívlastek tropický je odkazem na informatika maďarského původu Imre Simona, který zvolil toto pojmenování, protože žil a pracoval v Brazílii.
Definice
Tropický polookruh s minimem (též polookruh min-plus nebo algebra min-plus) je polookruh (ℝ ∪ {+∞}, ⊕, ⊗) s operacemi : x \oplus y = \min\{x, y \}, : x \otimes y = x + y. Operace ⊕ se nazývá tropické sčítání, operace ⊗ tropické násobení. +more Jednotkový prvek pro ⊕ je +∞, jednotkový prvek pro ⊗ je 0.
Podobně tropický polookruh s maximem (též polookruh max-plus nebo algebra max-plus) je polookruh (ℝ ∪ {−∞}, ⊕, ⊗) s operacemi
: x \oplus y = \max\{x, y \}, : x \otimes y = x + y. Jednotkový prvek pro ⊕ je −∞, a jednotkový prvek pro ⊗ je 0.
Oba polookruhy jsou vzájemně izomorfní; izomorfismem mezi nimi je negace (obrácení znaménka) x \mapsto -x. Proto lze pracovat jen s jedním z nich a mluvit o něm jednoduše jako o tropickém polookruhu. +more Různí autoři často v závislosti na oboru použití používají buď tropický polookruh s operací min nebo s operací max.
Tropické sčítání je idempotentní, díky čemuž je tropický polookruh příkladem idempotentního polookruhu.
Tropický polookruh se také nazývá tropická algebra, nesmí se však zaměňovat s asociativní algebrou nad tropickým polookruhem.
Tropické umocňování je definováno obvyklým způsobem jako opakovaný tropický součin (viz umocňování).
Komutativní tělesa s valuací
Operace tropického polookruhu modelují, jak se chovají valuace při sčítání a násobení v komutativním tělese s valuací. Komutativní těleso K reálných čísel s valuací je komutativní těleso opatřené funkcí : v \colon K \to \mathbb{R} \cup \{\infty\} které splňuje následující vlastnosti pro všechna a, b v K: : v(a) = \infty právě tehdy, když a = 0, : v(ab) = v(a) + v(b) = v(a) \otimes v(b), : v(a + b) \geq \min\{v(a), v(b) \} = v(a) \oplus v(b), s rovností pokud v(a) \neq v(b). +more Valuace v je proto „téměř“ polookruhovým homomorfismem z K do tropického polookruhu, až na to, že vlastnost homomorfismu může selhat, když se sčítají dva prvky se stejnou valuací.
Příklady komutativních těles s valuací: * Q nebo C s triviální valuací, v(a) = 0 pro všechna a ≠ 0, * Q nebo nějaké jeho rozšíření s p-adickou valuací, v(pna/b) = n kde a a b jsou relativní prvočísla s p, * komutativní těleso formálních Laurentových řad K((t)) (celočíselných mocnin) nebo komutativní těleso Puiseuxovy řady K
t
nebo komutativní těleso Hahnovy řady s valuací vracející nejmenší exponent t, který se v řadě objevuje.