Cesko.wiki Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu
Author
Albert FloresVěta o střední hodnotě diferenciálního počtu je matematická věta, která se zabývá vztahem mezi funkčními hodnotami a derivacemi funkce na určitém intervalu. Tato věta tvrdí, že existuje alespoň jeden bod v intervalu, ve kterém je rychlost změny funkce rovna průměrné rychlosti změny funkce na tomto intervalu. Věta o střední hodnotě je klíčová v diferenciálním počtu a slouží k mnoha aplikacím, zejména v fyzice a ekonomii. Ve svém základním tvaru se věta zabývá diferencovatelnou funkcí na uzavřeném intervalu a tvrdí, že existuje alespoň jeden bod v tomto intervalu, ve kterém je derivace funkce rovna průměrné rychlosti změny funkce. Věta o střední hodnotě má několik variant, které se liší podmínkami na funkci a interval. Mezi nejznámější varianty patří Lagrangeova věta o střední hodnotě, Cauchyho věta o střední hodnotě a Rolleova věta o střední hodnotě. Každá varianta věty může být použita v jiných situacích, například pro dokázání existenčních a jednoznačnostních vět pro diferenciální rovnice. Věta o střední hodnotě je zásadním prvkem v analýze a její důkaz se zakládá na použití mezikroku, který se nazývá Lagrangeova věta o konstantní střední hodnotě. Tato věta umožňuje najít body, ve kterých je diference funkce rovna produkty derivace a rozdílu hodnot funkcí. Díky tomu je možné aplikovat metodu matematického důkazu známou jako matematická indukce a dokázat větu pro celý interval.
Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu (také Lagrangeova věta o střední hodnotě, Lagrangeova věta o přírůstku funkce) je matematická věta z oblasti diferenciálního počtu, která říká, že se při „hladké“ změně nějaké veličiny dosahuje v nějakém okamžiku průměrné rychlosti dané změny.
Rolleova věta
Speciálním jednodušším případem Lagrangeovy věty je Rolleova věta, ze které již věta Lagrangeova snadno plyne:
:Nechť funkce f(x) \, je spojitá na intervalu \langle a,b\rangle, má derivaci v každém bodě intervalu (a,b) \, a platí f(a)=f(b) \,. Pak existuje bod c \in (a,b) takový, že f^\prime(c)=0.
Geometrický význam
Geometrické znázornění Rolleovy věty Rolleova věta říká, že za uvedených předpokladů existuje v intervalu (a,b) \, bod, v němž je tečna ke grafu funkce f(x) \, rovnoběžná s osou x.
Fyzikální význam
Fyzikálně lze Rolleovu větu interpretovat takto: :Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“ tak, že na začátku i konci tohoto procesu má stejnou velikost, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny nulová.
Lagrangeova věta o střední hodnotě
Lagrangeovu větu lze vyslovit následovně: :Nechť funkce f(x) \, je spojitá na intervalu \langle a,b\rangle a má v každém bodě intervalu (a,b) \, derivaci. Pak existuje bod c \in (a,b) takový, že platí f^\prime(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Protože je derivace f'(x) v bodě směrnice tečny, můžeme tvrdit, že pro f(x) platí: * f'(c) > 0 \Rightarrow f(x) je v tomto bodě rostoucí * f'(c) je v tomto bodě klesající
Geometrický význam
Geometrický význam Lagrangeovy věty Lagrangeova věta tvrdí, že za uvedených předpokladů v intervalu (a,b) \, existuje bod c \,, v němž je tečna k funkci f(x) \, rovnoběžná s přímkou vedenou body (a,f(a)) \, a (b,f(b)) \,.
Fyzikální význam
Lagrangeovu větu lze fyzikálně interpretovat následovně: :Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny rovna průměrné rychlosti.
Zobecnění
Zobecněním Lagrangeovy věty je Cauchyova věta o střední hodnotě: :Nechť funkce f(x), g(x) \, jsou spojité na intervalu \langle a,b\rangle, mají v každém bodě x \, intervalu (a,b) \, vlastní derivaci a nechť pro všechna x \in (a,b) platí g^\prime(x) \neq 0. Pak existuje bod c \in (a,b) takový, že platí \frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.
Důkaz
Dokážeme Cauchyovu větu o střední hodnotě, Lagrangeova věta pak plyne z Cauchyovy věty volbou g(x)=x \,. Protože g^\prime(x)\neq 0 pro všechna x \in (a,b), je podle obměněné implikace Rolleovy věty (důkaz) nutně g(a) \neq g(b) (ostatní předpoklady Rolleovy věty jsou splněny díky předpokladům Cauchyovy věty). +more Můžeme tak definovat funkci.
F(x)=-f(x)+\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)).
Funkce F \, je zřejmě spojitá na intervalu \langle a,b\rangle, má derivaci na intervalu (a,b) \, a F(a)=F(b)=-f(a) \,. F \, splňuje předpoklady Rolleovy věty a existuje tedy c \in (a,b) takové, že
0=F^\prime(c)=-f^\prime(c)+\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g^\prime(c)
Dle předpokladu je g^\prime(c) \neq 0 a tedy
\frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.