Variační počet

Variační počet je odvětvím matematické analýzy, které se zabývá maximalizací a minimalizací funkcionálů, což jsou zobrazení z množiny funkcí do množiny reálných čísel. Funkcionály se často vyjadřují jako určité integrály obsahující funkce a jejich derivace. Pozornost je zaměřena na extrémní funkce, pro které funkcionál dosahuje maximální nebo minimální hodnoty, a na stacionární funkce, kde je rychlost změny funkcionálu nulová.

Jednoduchým příkladem takového problému je hledání křivky nejkratší délky propojující dva body. V jednoduchém případě je zřejmým řešením úsečka spojující oba body. +more Pokud ale vyžadujeme, aby křivka ležela v určitém povrchu v prostoru, pak řešení je méně zjevné a může jich existovat i více. Taková řešení jsou známa jako geodetiky. Příbuzný problém plyne z Fermatova principu: světlo se mezi dvěma body šíří po dráze s nejkratší optickou délkou, přičemž optická vzdálenost závisí na vlastnostech prostředí. V mechanice je podobným konceptem princip nejmenší akce.

Mnoho důležitých problémů vyžaduje studium funkcí několika proměnných. Řešení okrajových úloh pro Laplaceovu rovnici musí vyhovovat Dirichletovu principu. +more Plateauův problém je hledání minimálního povrchu, který pokrývá danou prostorovou křivku; řešení lze snadno nalézt ponořením rámečku, který má tvar příslušné křivky, do mýdlového roztoku. Matematická interpretace však není jednoduchá: může se jednat o více než jednu lokální minimalizaci povrchu a výsledek může mít netriviální topologii.

Odkazy

Reference

Externí odkazy