Cesko.wiki Věty o dimenzi
Author
Albert FloresV lineární algebře se dokazují dvě užitečná tvrzení svazující dimenze jistých podprostorů vektorového prostoru. Mějme vektorový prostor V nad nějakým tělesem. První tvrzení dává do souvislosti dimenze dvou vektorových podprostorů prostoru V a dimenzí jejich součtu a průniku - tzv. první věta o dimenzi zvaná též věta o dimenzi součtu a průniku podprostorů. Druhé tvrzení pak udává vztah mezi dimenzemi jádra a oboru hodnot libovolného lineárního zobrazení (konečněrozměrného) mezi dvěma vektorovými prostory - tzv. druhá věta o dimenzi, nazývaná také věta o dimenzi jádra a obrazu.
První věta o dimenzi
Nechť \scriptstyle V je vektorový prostor nad tělesem \scriptstyle \mathbb{T}. Dále nechť \scriptstyle P a \scriptstyle Q jsou podprostory prostoru \scriptstyle V konečných dimenzí, tj. +more \scriptstyle P \subset V, \scriptstyle \dim P a \scriptstyle Q \subset V, \scriptstyle \dim Q . Pak platí.
: \dim(P + Q) + \dim(P \cap Q) = \dim P + \dim Q.
Pro direktní součet podprostorů pak speciálně
: \dim(P \oplus Q) = \dim P + \dim Q.
Důkaz
Pokud je \scriptstyle P podprostor prostoru \scriptstyle Q, tj. \scriptstyle P \subset Q, tak tvrzení věty zjevně platí, neboť pak \scriptstyle Q = P + Q, \scriptstyle P = P \cap Q a \scriptstyle \dim P = \dim (P \cap Q), \scriptstyle \dim Q = \dim (P + Q). +more Totožně by se postupovalo, byl-li by \scriptstyle Q podprostorem \scriptstyle P. Nechť tedy dále není ani jeden podprostor podmnožinou toho druhého. V obou podprostorech určitě leží nulový vektor, můžeme proto rozlišit případ, kdy je průnik \scriptstyle P \cap Q = \{ \vec{0} \} a kdy v průniku leží i nějaký nenulový vektor. Předpokládejme nejprve druhou zmíněnou možnost, tzn. v průniku obou podprostorů leží nenulový vektor. Protože průnik podprostorů je opět podprostor je tato podmínka ekvivalentní tomu, že průnik \scriptstyle P a \scriptstyle Q je netriviální podprostor. Z konečnosti dimenzí \scriptstyle P a \scriptstyle Q musí být tento podprostor konečněrozměrný, nechť \scriptstyle \dim (P \cap Q) = n \ . V \scriptstyle P \cap Q tedy existuje \scriptstyle n-členná báze \scriptstyle \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n \}. Nechť \scriptstyle \dim P = p \ a \scriptstyle \dim Q = q \ . Je zřejmé, že \scriptstyle n . Myšlenka důkazu je taková, že bázi průniku doplníme na bázi prostorů \scriptstyle P a \scriptstyle Q. Z toho už bude tvrzení věty ihned vyplývat. Protože \scriptstyle P \cap Q \subset P a \scriptstyle P \cap Q \subset Q, lze zřejmě doplnit bázi průniku \scriptstyle P \cap Q jednak na bázi prostoru \scriptstyle P, jednak na bázi prostoru \scriptstyle Q. Označme bázi prostoru \scriptstyle P a prostoru \scriptstyle Q po řadě.
: \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n, \vec{e}^P_1, \ldots, \vec{e}^P_{p - n}\}, \quad \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n, \vec{e}^Q_1, \ldots, \vec{e}^Q_{q - n} \},
kde jsme vektory \scriptstyle \vec{e}^P_i, resp. \scriptstyle \vec{e}^Q_i, doplnily bázi průniku na bázi prostoru \scriptstyle P, resp. \scriptstyle Q.
Abychom měli všechny ingredience potřebné pro dokončení důkazu, potřebujeme ještě najít vhodnou bázi součtu podprostorů \scriptstyle P + Q (součet podprostorů je opět podprostor). Ukážeme, že množina vektorů
: \mathcal{E} = \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n, \vec{e}^P_1, \ldots, \vec{e}^P_{p - n}, \vec{e}^Q_1, \ldots, \vec{e}^Q_{q - n}\}
je naší vhodnou bází tohoto prostoru. Aby výše uvedená množina vektorů byla bází, musí generovat celý prostor \scriptstyle P + Q a současně musí být lineárně nezávislá. +more První vlastnost je zřejmá z toho, jak jsme tuto množinu vektorů zkonstruovali. Dokažme tedy lineární nezávislost. Mějme tedy lineární kombinaci výše uvedených vektorů, dávající nulový vektor.
: \vec{0} = \alpha_1 \vec{e}_1 + \ldots + \alpha_n \vec{e}_n + \beta_1 \vec{e}^P_1 + \ldots + \beta_{p - n} \vec{e}^P_{p - n} + \gamma_1 \vec{e}^Q_1 + \ldots + \gamma_{q - n} \vec{e}^Q_{q - n} = \sum_{i = 1}^n \alpha_i \vec{e}_i + \sum_{i = 1}^{p - n} \beta_i \vec{e}^P_i + \sum_{i = 1}^{q - n} \gamma_i \vec{e}^Q_i.
Chceme ukázat, že všechny koeficienty \alpha_i, \beta_i, \gamma_i už musí být nutně nulové. Přepišme si tuto lineární kombinaci do tvaru
: \sum_{i = 1}^n \alpha_i \vec{e}_i + \sum_{i = 1}^{p - n} \beta_i \vec{e}^P_i = -\sum_{i = 1}^{q - n} \gamma_i \vec{e}^Q_i.
Na levé straně máme vektor z prostoru \scriptstyle P, na druhé straně rovnosti pak vektor z \scriptstyle Q. Z rovnosti tedy plyne, že se jedná o vektor z průniku \scriptstyle P \cap Q. +more Lze ho tedy napsat jako lineární kombinaci.
: \sum_{i = 1}^n \tilde{\alpha}_i \vec{e}_i,
pro jisté koeficienty \scriptstyle \tilde{\alpha}_i. Dostáváme tak dvě rovnosti
: \sum_{i = 1}^n \alpha_i \vec{e}_i + \sum_{i = 1}^{p - n} \beta_i \vec{e}^P_i = \sum_{i = 1}^n \tilde{\alpha}_i \vec{e}_i, \quad \sum_{i = 1}^n \tilde{\alpha}_i \vec{e}_i = -\sum_{i = 1}^{q - n} \gamma_i \vec{e}^Q_i,
které si můžeme zapsat způsobem
: \sum_{i = 1}^n (\alpha_i - \tilde{\alpha}_i) \vec{e}_i + \sum_{i = 1}^{p - n} \beta_i \vec{e}^P_i = \vec{0}, \quad \sum_{i = 1}^n \tilde{\alpha}_i \vec{e}_i + \sum_{i = 1}^{q - n} \gamma_i \vec{e}^Q_i = \vec{0}.
První rovnice obsahuje lineární kombinaci bazických vektorů prostoru \scriptstyle P rovnající se nulovému vektoru. Koeficienty u těchto vektorů tedy musí být nulové. +more Podobně i pro druhou rovnici, kde vystupují bazické vektory prostoru \scriptstyle Q. Máme tedy.
: (\forall i \in \{ 1, \ldots, n \})(\alpha_i - \tilde{\alpha}_i = 0) \ \wedge \ (\forall i \in \{ 1, \ldots, p - n \})(\beta_i = 0), \quad (\forall i \in \{ 1, \ldots, n \})(\tilde{\alpha}_i = 0) \ \wedge \ (\forall i \in \{ 1, \ldots, q - n \})(\gamma_i = 0).
Všechny koeficienty jsou tedy nulové a my jsme tím ukázali, že množina \scriptstyle \mathcal{E} je bází prostoru \scriptstyle P + Q. Protože tato báze obsahuje \scriptstyle n + (p - n) + (q - n) vektorů, máme \scriptstyle \dim (P + Q) = p + q - n. +more Celkově.
: \dim (P + Q) + \dim (P \cap Q) = (p + q - n) + n = p + q = \dim P + \dim Q,
což jsme měli dokázat. Zbývá ještě případ, kdy \scriptstyle P \cap Q = \{ \vec{0} \}. +more (To je ekvivalentní tomu, že součet prostorů \scriptstyle P a \scriptstyle Q je direktní. ) Platí tedy \scriptstyle \dim (P \cap Q) = 0 . Postupem analogickým tomu výše se ukáže, že \scriptstyle \dim (P + Q) = p + q = \dim P + \dim Q.
Příklad
Uvažujme vektorový prostor \scriptstyle \mathbb{R}^5 s klasicky definovanými operacemi sčítání a násobení vektoru číslem. Mějme v tomto prostoru dva lineární obaly tvaru
: P = \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}_\text{lin}, \quad Q = \left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}_\text{lin}.
Není těžké ukázat, že generátory lineárního obalu \scriptstyle P (tj. vektory vyobrazené ve složených závorkách) jsou lineárně nezávislé. +more Dimenze podprostoru \scriptstyle P je tedy 3 (mám tři lineárně nezávislé generátory). Podobně pro obal \scriptstyle Q. Z první věty o dimenzi plyne, že.
: \dim P + \dim Q = 3 + 3 = 6 = \dim (P + Q) + \dim (P \cap Q).
Protože je ale součet \scriptstyle P + Q stále podprostorem pětidimenzionálního vektorového prostoru \scriptstyle \mathbb{R}^5 , nemůže jeho dimenze přesáhnout hodnotu 5. Ze vzorce výše tedy rovnou plyne, že průnik \scriptstyle P \cap Q je podprostor dimenze alespoň jedna. +more Existuje tedy nenulový vektor ležící v \scriptstyle P a současně v \scriptstyle Q. Tuto skutečnost jsme tedy odvodili čistě ze znalostí dimenzí podprostorů \scriptstyle P a \scriptstyle Q, aniž bychom blíže zkoumali jejich vlastnosti.
Druhá věta o dimenzi
Nechť \scriptstyle P a \scriptstyle Q jsou dva vektorové prostory nad stejným číselným tělesem \scriptstyle \mathbb{T} a nechť \scriptstyle A je lineární zobrazení prostoru \scriptstyle P do prostoru \scriptstyle Q, tj. \scriptstyle A \in \mathcal{L}(P,Q). +more Dále nechť \scriptstyle P má konečnou dimenzi, tj. \scriptstyle \dim P . Pak platí vztah.
: \dim \ker A + \dim \text{ran} \, A = \dim P,
kde \scriptstyle \ker A značí jádro zobrazení A a \scriptstyle \text{ran} \, A jeho obor hodnot.
Důkaz
Označme si \scriptstyle \dim P = n . Lze ukázat, že vzor množiny lineárně nezávislých vektorů při lineárním zobrazení je opět soubor lineárně nezávislých vektorů. +more To znamená, že kdyby v množině \scriptstyle A(P) (tj. vzoru prostoru \scriptstyle P při zobrazení \scriptstyle A ) bylo více než \scriptstyle n lineárně nezávislých vektorů, tak je tolik lineárně nezávislých vektorů i v prostoru \scriptstyle P , což je spor s tím, že dimenze \scriptstyle P je \scriptstyle n . Dimenze obrazu zobrazení \scriptstyle A je tedy konečná a není větší než \scriptstyle n . Označme si tuto dimenzi jako \scriptstyle k . V \scriptstyle A(P) tedy existuje \scriptstyle k-členná báze, označme si bazické vektory jako \scriptstyle \vec{y}_1, \ldots, \vec{y}_k . Vektory \scriptstyle \vec{x}_i z prostoru \scriptstyle P takové, že \scriptstyle (\forall i \in \{ 1, \ldots, k)(A \vec{x}_i = \vec{y}_i) (tj. vzory \scriptstyle \vec{y}_i při zobrazení \scriptstyle A ) tvoří \scriptstyle k-člennou lineárně nezávislou množinu vektorů v \scriptstyle P. Jejich lineární obal tedy tvoří \scriptstyle k-rozměrný podprostor prostoru \scriptstyle P, označme si ho jako \scriptstyle Q. Platí tedy \scriptstyle Q \subset \subset P, kde.
: Q = \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_k \}_\text{lin}.
Navíc víme, že jádro lineárního zobrazení též tvoří podprostor, tj. \scriptstyle \ker A \subset \subset P . +more Ukážeme nejprve, že součet těchto podprostorů je roven celému prostoru \scriptstyle P a že tento součet je navíc direktní. Neboli.
: \ker A \oplus Q = P.
Dokažme nejdříve inkluzi zleva doprava, tzn. že \scriptstyle \ker A + Q \subset P. +more To je ale zřejmé z konstrukce. Ukažme tedy opačnou inkluzi. Mějme nějaký libovolně zvolený vektor \scriptstyle \vec{x} \in P a najděme jeho rozklad do podprostorů \scriptstyle \ker A a \scriptstyle Q. Hledáme tedy vektory \scriptstyle \vec{q} \in Q a \scriptstyle \vec{r} \in \ker A takové, že \scriptstyle \vec{x} = \vec{q} + \vec{r}. Protože \scriptstyle \vec{r} má ležet v jádru \scriptstyle A, platí \scriptstyle A \vec{x} \ = \ A \vec{q} \ \in A(P). Existují tedy koeficienty z tělesa \scriptstyle \alpha_1, \ldots, \alpha_k takové, že.
: A \vec{x} = A \vec{q} = \sum_{i=1}^k \alpha_k \vec{y}_i.
Navíc \scriptstyle A \vec{x}_i = \vec{y}_i, takže
: \sum_{i=1}^k \alpha_k \vec{y}_i = \sum_{i=1}^k \alpha_k A \vec{x}_i = A \left( \sum_{i=1}^k \alpha_k \vec{x}_i \right).
Za vektor \scriptstyle \vec{q} tedy můžeme zvolit
: \vec{q} \equiv \sum_{i=1}^k \alpha_k \vec{x}_i.
Vektor \scriptstyle \vec{r} pak vznikne jako rozdíl
: \vec{r} \equiv \vec{x} - \vec{q}.
Pro libovolný vektor \scriptstyle \vec{x} \in P jsme tak nalezli jeho rozklad do podprostorů \scriptstyle \ker A a \scriptstyle Q.
Nyní ukažme, že se jedná o direktní součet. To je ekvivalentní tomu, že v průniku podprostorů \scriptstyle \ker A a \scriptstyle Q leží jen nulový vektor, tj. +more \scriptstyle \ker A \cap Q = \{ \vec{0} \}. Vezměme tedy nějaký vektor \scriptstyle \vec{x} z průniku \scriptstyle \ker A \cap Q. Pokud o něm zjistíme, že je nulový, tak jsme hotovi. O libovolném vektoru z průniku jsme totiž ukázali, že je nulový. Protože \scriptstyle \vec{x} \in \ker A \cap Q, je určitě \scriptstyle \vec{x} \in Q. Existuje tedy \scriptstyle k-tice koeficientů \scriptstyle \beta_1, \ldots, \beta_k z tělesa taková, že.
: \vec{x} = \sum_{i=1}^k \beta_k \vec{x}_i.
Protože je \scriptstyle \vec{x} současně z jádra \scriptstyle \ker A, tak
: A \vec{x} = \sum_{i=1}^k \beta_k A \vec{x}_i = \sum_{i=1}^k \beta_k \vec{y}_i = 0.
Neboť jsou vektory \scriptstyle \vec{y}_i lineárně nezávislé, jsou všechny koeficienty \scriptstyle \beta_i nulové a platí tedy \scriptstyle \vec{x} \ = \ \vec{0}.
Zatím jsme tedy dokázali rovnost
: \ker A \oplus Q = P.
Nyní můžeme použít první větu o dimenzi, z níž vyplývá
: \dim \ker A + \dim Q = \dim (\ker A \oplus Q) = \dim P.
Podprostor \scriptstyle Q má ale stejnou dimenzi jako množina \scriptstyle A(P). Dostali jsme tedy tvrzení věty.
Příklad
Uvažujme reálný konečněrozměrný vektorový prostor \scriptstyle V a k němu prostor duální, nechť \scriptstyle \dim V = n. Mějme \scriptstyle f, funkcionál z duálního prostoru, a nechť \scriptstyle \vec{x} je vektor takový, že \scriptstyle f(\vec{x}) = 1. +more Protože \scriptstyle f je funkcionál, je jeho obor hodnot z definice podmnožinou tělesa \scriptstyle \mathbb{R}, což je současně reálný vektorový prostor dimenze jedna, \scriptstyle \dim \mathbb{R} = 1. Neboť je \scriptstyle f zjevně nenulový, je jeho obor hodnot jednodimenzionální (kdyby byl nulový, zobrazuje každý vektor na nulu a jeho obor hodnot má tedy dimenzi nula). Z druhé věty o dimenzi vyplývá, že dimenze jádra funkcionálu \scriptstyle f je.
: \dim \ker f = \dim V - \dim \text{ran} \, f = n - 1.
Jádro zobrazení \scriptstyle f tedy tvoří \scriptstyle (n - 1)-rozměrný podprostor prostoru \scriptstyle V. Z toho tedy vidíme, že jediné vektory, na které \scriptstyle f nedá nulu, jsou násobky vektoru \scriptstyle \vec{x}, neboli jeho lineární obal \scriptstyle \{ \vec{x} \}_\text{lin} .