Cesko.wiki Zjemnění rozkladu
Author
Albert FloresZjemnění rozkladu je proces, který se vyskytuje při biologickém rozkladu organické hmoty. Jedná se o fyzikálně-chemický proces, při kterém dochází k rozkladu organických látek na menší a jednodušší části. Tento proces je nezbytný pro rychlejší rozklad organických materiálů, jako jsou rostlinné zbytky nebo zemědělské odpady. Díky zjemnění rozkladu se organická hmota rozkládá rychleji a vytváří se tak živiny, které jsou důležité pro růst rostlin a regeneraci půdy. Zjemnění rozkladu je důležitým procesem v přírodním prostředí, ale je také využíván v zemědělství a kompostování.
Zjemnění rozkladu je matematický pojem z oboru teorie množin, který umožňuje uspořádání množiny všech rozkladů určité pevně dané množiny.
Definice
Předpokládejme, že jsou R_1 \,\. a R_2 \,\. +more dva rozklady množiny X \,\. (množina podmnožin množiny X \,\. je rozklad, pokud její sjednocení je rovno X \,\. a každé dva její prvky jsou disjunktní množiny).
Řekneme, že rozklad R_1 \,\. je zjemněním rozkladu R_2 \,\. +more , pokud R_1 \,\. vznikl z R_2 \,\. rozdělením některých jeho množin na podmnožiny. Přesněji zapsáno.
(\forall a \isin R_1)(\exist b \isin R_2)(a \subseteq b) \,\!
Tuto skutečnost zapisujeme symbolem R_1 \ll R_2 \,\! .
Příklady
Uvažujme o rozkladech množiny \omega \,\. všech přirozených čísel. +more * Rozklad na všechny jednoprvkové podmnožiny \omega/id = \{ \{0 \}, \{1\}, \{2\}, \ldots \} \,\. je nejjemnější rozklad množiny \omega \,\. - pro každý jiný rozklad R \,\. platí \omega/id \ll R \,\. . * Rozklad množiny \omega \,\. na jednu jedinou množinu obsahující všechny prvky \omega \,\. , značenou R_1 = \{ \omega \} \,\. , je nejhrubší rozklad množiny \omega \,\. - pro každý jiný rozklad R \,\. platí R \ll R_1 \,\. . * Je-li R_n \,\. rozklad \omega \,\. na zbytkové třídy po dělení číslem n (tj. například R_3 = \{ \{0,3,6,\ldots \}, \{1,4,7,\ldots \}, \{2,5,8,\ldots \} \} \,\. ), pak platí, že R_a \ll R_b \,\. , právě když b dělí a. Například R_8 \ll R_4 \ll R_2 \ll R_1 \,\. nebo R_{1500} \ll R_{30} \,\. .
Zjemnění jako uspořádání
Dá se poměrně snadno ověřit, že relace \ll \,\. je neostré uspořádání množiny R(X) \,\. +more všech možných rozkladů množiny X \,\. . Určitě se ale nejedná o lineární uspořádání - pokud se vrátíme k předchozímu příkladu, tak neplatí ani R_2 \ll R_3 \,\. , ani R_3 \ll R_2 \,\. .
Příklad množiny všech rozkladů
Uvažujme o tříprvkové množině X = \{ 1,2,3 \} \,\. . +more Tato množina má celkem pět rozkladů R(X) = \{ R_a, R_b, R_c, R_d, R_e \} \,\. , kde * R_a = \{ \{1 \}, \{ 2 \}, \{3 \} \} \,\. * R_b = \{ \{1,2 \}, \{3 \} \} \,\. * R_c = \{ \{1,3 \}, \{2 \} \} \,\. * R_d = \{ \{2,3 \}, \{1 \} \} \,\. * R_e = \{ \{1,2,3 \} \} \,\. .
Je vidět, že * R_a \ll R_b \ll R_e \,\! * R_a \ll R_c \ll R_e \,\! * R_a \ll R_d \ll R_e \,\! * R_b, R_c, R_d \,\! nelze porovnat
Vztah rozkladů a ekvivalencí
Jak je uvedeno v článku Ekvivalence (matematika), odpovídá každý rozklad na množině X \,\. vzájemně jednoznačně nějaké ekvivalenci na množině X \,\. +more .
Je-li R \,\. rozklad a \sim_R \,\. +more jemu odpovídající ekvivalence, potom R je shodný s množinou tříd ekvivalence \sim_R \,\. a naopak - \sim_R \,\. lze definovat pomocí rozkladu R \,\. takto:.
a \sim_R b \Leftrightarrow (\exist y \isin R)(a \isin y \land b \isin y) \,\!
Lidsky: dva prvky jsou ekvivalentní, pokud náleží do stejné množiny v rozkladu R \,\!
Označme E(X) \,\! množinu všech možných ekvivalencí na množině X \,\! .
Dá se ukázat, že relace \subseteq \,\. (tj. +more "být podmnožinou) se chová na množině E(X) \,\. úplně stejně, jako relace \ll \,\. na množině R(X) \,\. , jinými slovy:.
Množina R(X) \,\! při uspořádání \ll \,\! je izomorfní s množinou E(X) \,\! při uspořádání \subseteq \,\! .
Příklad množiny všech ekvivalencí
Vraťme se k tříprvkové množině X = \{ 1,2,3 \} \,\. a spočítejme všechny ekvivalence, které na ní lze vytvořit. +more Žádný div, že jich je zase pět: * E(X) = \{ E_a, E_b, E_c, E_d, E_e \} \,\. * E_a = \{ [1,1],[2,2],[3,3] \} \,\. * E_b = \{ [1,1],[2,2],[3,3],[1,2],[2,1] \} \,\. * E_c = \{ [1,1],[2,2],[3,3],[1,3],[3,1] \} \,\. * E_d = \{ [1,1],[2,2],[3,3],[2,3],[3,2] \} \,\. * E_e = \{ [1,1],[2,2],[3,3],[1,2],[2,1],[1,3],[3,1],[2,3],[3,2] \} \,\. .
Není ani příliš překvapivé, že mezi těmito ekvivalencemi platí stejné vztahy, jako mezi rozklady - tak už to u izomorfních struktur chodí: * E_a \subseteq E_b \subseteq E_e \,\. * E_a \subseteq E_c \subseteq E_e \,\. +more * E_a \subseteq E_d \subseteq E_e \,\. * E_b, E_c, E_d \,\. nelze porovnat.
Množina všech rozkladů jako úplný svaz
Na závěr ještě podotkněme, že množina všech rozkladů s uspořádáním pomocí zjemnění tvoří algebraickou strukturu nazývanou úplný svaz - lze na ní tedy zavést operace součtu a součinu a s rozklady počítat podobně, jako by to byla čísla.