Zlatý prostorový úhel

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Zlatý prostorový úhel se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kouli na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celé kouli:

:\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi} - myšleno v steradiánech

:\alpha + \beta = 4 \pi

Výpočet

Výpočet užitím zlatého řezu

Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným zlatý řez ( \varphi = \frac {1+ \sqrt 5}{2}), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly: :\beta = \varphi\alpha

:4 \pi = \varphi\beta

Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:

:4 \pi = \varphi^2\alpha

Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého prostorového úhlu:

:\frac {4 \pi} {\varphi^2} = \alpha

Výpočet bez znalosti zlatého řezu

Pokud nevíme o existenci zlatého řezu nebo jeho souvislosti se zlatým prostorovým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého prostorového úhlu jinak.

Úloha je zadána dvěma rovnicemi.

:\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}

:\alpha + \beta = 4 \pi

Z druhé rovnice vyjádříme β a dosadíme jej do první rovnice.

:\beta = 4\pi - \alpha

:\frac{\alpha}{4\pi - \alpha} = \frac{4\pi - \alpha}{4\pi}

Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.

:4 \pi \alpha = 16 \pi^2 - 8 \pi \alpha + \alpha^2

:0 = 16 \pi^2 - 12 \pi \alpha + \alpha^2

A z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny α1 a α2.

:\alpha_{1,2} = \frac {12 \pi \pm \sqrt {80} \pi} {32}

:\alpha_{1} = \frac {12 \pi + \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\sqrt {14} \pi}{8}