Zlatý úhel

Zlatý úhel Zlatý úhel se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kruh na dva úhly (přesněji řečeno na kruhové výseče) α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celému kruhu:

:\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{360^{\circ}}

:\alpha + \beta = 360^\circ

Menší úhel α se označuje řeckým písmenem ψ a rovná se přibližně 137,51° (≈ 2,40 radiánu).

Výpočet

Výpočet užitím zlatého řezu

Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným zlatý řez (φ ≈ 1,618), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:

:\beta = \varphi\alpha respektive \beta = \varphi\psi

:360^{\circ} = \varphi\beta

Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:

:360^{\circ} = \varphi^2\alpha respektive 360^{\circ} = \varphi^2\psi

Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého úhlu ψ:

:\psi = \frac{360^{\circ}}{\varphi^2} \approx 137,51^\circ

Výpočet bez znalosti zlatého řezu

Pokud nevíme o existenci zlatého řezu nebo jeho souvislosti se zlatým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého úhlu ψ jinak. V následujícím postupu, který je velmi podobný výpočtu hodnoty zlatého řezu, jsou použity radiány místo stupňů (2π rad = 360°) a je počítána velikost úhlu α, který vlastně představuje hledaný zlatý úhel.

Úloha je zadána dvěma rovnicemi.

:\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{2\pi}

:\alpha + \beta = 2\pi

Z druhé rovnice vyjádříme β a dosadíme jej do první rovnice.

:\beta = 2\pi - \alpha

:\frac{\alpha}{2\pi - \alpha} = \frac{2\pi - \alpha}{2\pi}

Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.

:2\pi\alpha = \left( 2\pi - \alpha \right)^2

Umocníme závorku a převedeme na jednu stranu.

:2\pi\alpha = 4\pi^2 - 4\pi\alpha + \alpha^2

:\alpha^2 - 6\pi\alpha + 4\pi^2 = 0

Z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny α1 a α2.

:\alpha_{1,2} = \frac{6\pi \pm \sqrt{36\pi^2 - 16\pi^2}}{2}

:\alpha_1 = \pi \left(3 + \sqrt{5} \right) \doteq 5,24 \pi \doteq 16,45 \, rad

:\alpha_2 = \pi \left(3 - \sqrt{5} \right) \doteq 0,76 \pi \doteq 2,40 \, rad

Je zřejmé, že první kořen α1 je větší než 2π. Tím pro nás ztrácí praktický význam a zanedbáme jej. Získáváme tak hledanou velikost zlatého úhlu ψ.

:\psi \doteq 2,4000 \, rad \doteq 137,51^\circ

Biologie

Zlatý úhel je důležitou veličinou v biologii. Listy, které postupně rostou jeden za druhým, se nacházejí na hustě svinuté tzv. +more genetické spirále. Při pohledu zvrchu lze sledovat úhel mezi spojnicemi středu stonku a následných listů. Všechny listy vyrůstají zhruba ve stejném úhlu kolem středu. Tento úhel se blíží zlatému úhlu.

Podobně vyrůstají například i jednotlivé okvětní lístky květu růže nebo jednotlivá semena na květu slunečnice.

Související články

Zlatý řez * Zlatý prostorový úhel

Externí odkazy

Kategorie:Geometrie