Cesko.wiki Aritmeticko-geometrický průměr
Author
Albert FloresAritmeticko-geometrický průměr je speciální průměr dvou nezáporných čísel, označovaný tradičně M(x,y) nebo AGM(x,y). Lze jej vyjádřit jen pomocí vyšších transcendentních funkcí.
Definice
Definice aritmeticko-geometrického průměru užívá obvykle vyšší transcendentní funkce, limitu posloupnosti nebo určitý integrál, např.
M(x,y)=\frac{\pi/2}{\int_{0}^{\infty}\tfrac{dt}{(t^2+x^2)(t^2+y^2)} }=\frac{\pi(x+y)}{4K(\tfrac{x-y}{x+y})},
kde K je úplný eliptický integrál 1. druhu.
Zavedení pomocí posloupností
A.-g. průměr lze snadno definovat (a výhodně počítat) jako (společnou) limitu následujících posloupností, definovaných rekurentními rovnicemi 1. řádu
a_{n+1}=\frac {a_n+b_n}{2}, b_{n+1}=\sqrt {a_n b_n}; a_0=x, b_0=y.
Vlastnosti
Hodnota a.- g. průměru leží vždy mezi hodnotou aritmetického a geometrického průměru. Platí také
M(x,y)=M(\tfrac{x+y}{2},\sqrt{xy})=M(A(x,y),G(x,y)),
což nejlépe vyplývá z definice pomocí posloupností.
Použití
Používá se k vyčíslení hodnot jiných transcendentních funkcí jako jsou eliptické integrály i např. k rychlému výpočtu číslic čísla π.
Externí odkazy
Weisstein, Eric W. "Arithmetic-Geometric Mean." URL http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-GeometricMean.html, cit. 28. 6. 2018 (anglicky).