Geometrický průměr

Technology

12 hours ago

Author

Geometrický průměr n nezáporných čísel x_1, x_2, \dots, x_n je definován jako n-tá odmocnina jejich součinu:

G ( x_1,x_2,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}.

Geometrický průměr je hodnota, která udává v jistém smyslu typickou hodnotu souboru čísel tím, že nahrazuje hodnoty, co se týče jejich součinu.

Příklad

Geometrický průměr se používá např. na koeficienty růstu pro výpočet průměrného tempa růstu: Pokud např. +more tempo růstu cen bylo postupně 20 %, 10 %, poté −15 % a +10 %, pak průměrný koeficient růstu je roven (1,20 · 1,10 · 0,85 · 1,10)1/4 ≅ 1,054, tzn. průměrné tempo růstu je přibližně 5,4 %. Toto číslo vyjadřuje, že výsledná cena by taková byla i v případě, že by tempo růstu bylo konstantní, každý rok 5,4 % (neboť 1,0544 ≅ 1,2 · 1,1 · 0,85 · 1,1).

Vlastnosti

Geometrický průměr je vždy menší nebo rovný než aritmetický průměr. Rovnost nastane jedině, když jsou všechny průměrované hodnoty stejné - viz AG nerovnost. +more To mj. umožňuje definovat aritmeticko-geometrický průměr, který vždy leží mezi aritmetickým a geometrickým průměrem.

Geometrický průměr je (jako každý průměr) lineárně homogenní funkce (h. f. 1. stupně), tzn. že pro každé t>0 platí

: G(tx_1,tx_2,...,tx_n) = t G(x_1,x_2,...,x_n) .

Logaritmus geometrického průměru kladných hodnot je roven aritmetickému průměru logaritmů:

:\ln G = \frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i

Logaritmy mohou mít libovolný základ, ale u všech hodnot stejný. To znamená, že geometrický průměr lze chápat jako zobecněný f-průměr s logaritmickou transformací např. +more f(x) = ln x:.

:G = \exp\left(\frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\right).

Tento způsob může být vhodnější pro numerické vyhodnocování počítačem, neboť mezivýpočty budou operovat s řádově nižšími hodnotami.