Bez újmy na obecnosti

Bez újmy na obecnosti (BÚNO) je v matematice ustálený obrat používaný zejména v důkazech. Obvykle je používán v situacích, kdy se důkaz rozpadá na několik případů, které lze dokázat stejným či obdobným způsobem (například díky symetrii), a mluvčí touto frází dává najevo, že když si vybere a dokáže jeden z nich, dokáže tím vlastně zároveň i všechny ostatní a tím dokončí i důkaz jako celek.

Příklad

Bolzanova věta z reálné analýzy říká, že je-li funkce f(x) spojitá na uzavřeném intervalu \langle a,b \rangle a f(a) \cdot f(b) , pak existuje alespoň jeden bod c \in (a,b) takový, že f(c)=0.

Důkaz může začínat:

:Z f(a) · f(b) vyplývá, že f(a) a f(b) jsou nenulové a mají opačná znaménka. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že f(a) a f(b) > 0.....

a následuje už jen důkaz tohoto případu. Je totiž zjevné, že v druhém případě stačí takový důkaz aplikovat na funkci -f, která je rovněž spojitá na daném intervalu, nabývá hodnoty nula ve stejných bodech a splňuje f(a) a f(b) > 0.

Reference

Kategorie:Matematika