Deformace

Pojmem deformace tělesa rozumíme změnu jeho tvaru. Těleso mění tvar v důsledku působení síly. Silové působení mění vzájemné polohy atomů, ze kterých se těleso skládá. V případě, že se po odstranění působící síly těleso vrátí do původního tvaru, mluvíme o pružné (elastické) deformaci. Pružné deformace se vyskytují u pružných látek. V důsledku působení sil může rovněž dojít k nevratným změnám v poloze atomů tělesa. Tvar tělesa se po odstranění působící síly již nevrátí do původního stavu. V takovém případě mluvíme o nepružné deformaci popř. úžeji o plastické deformaci. Tyto deformace lze pozorovat např. u plastických látek.

Zůstávají-li během deformace body původně ležící v jedné rovině ve stejné rovině i po deformaci, označuje se taková deformace jako rovinná.

Síly působící na těleso lze rozlišovat podle druhu napětí, které v tělese vyvolávají na tahové, tlakové, smykové, ohybové nebo torzní. Tyto síly bývají také označovány jako deformační síly.

Neuvažuje-li se při popisu tělesa jeho deformace, mluvíme o tuhém tělesu.

Deformace v mechanice kontinua

V mechanice kontinua lze deformace popsat srovnáním deformovaného a nedeformovaného stavu kontinua.

V čase t=0 můžeme popsat polohu částic kontinua jako y_j=y_j(x_i,0)=x_j. V čase \Delta t pak bude poloha odpovídajících částic určena jako y_j=y_j(x_i,\Delta t). +more Lze definovat vektor posunutí u_i jako :u_i=y_i-x_i Vektor posunutí má tedy počátek v místě, kde se částice nacházela na počátku sledovaného pohybu a konec v místě konečné polohy částice. Pomocí vektoru posunutí je možné deformační pohyb popsat jako :y_j=x_j + u_j(x_i) Tento vztah však v sobě zahrnuje nejen deformaci, ale také posunutí a otáčení kontinua jako celku. Pro popis deformací by však bylo vhodné získat z tohoto vztahu pouze část, která je za deformace odpovědná. Toho se dosáhne na základě předpokladu, že při deformacích dochází ke změnám vzdáleností částic kontinua.

Uvažujeme-li libovolný bod x_j kontinua a v jeho okolí bod x_j+\mathrm{d}x_j, pak na konci deformačního pohybu se bod z x_j přesune do bodu y_j a bod x_j+\mathrm{d}x_j do bodu y_j+\mathrm{d}y_j. Označíme-li vektor posunutí odpovídající bodu x_j jako u_j a vektor posunutí odpovídající bodu x_j+\mathrm{d}x_j jako u_j+\mathrm{d}u_j, a uvažujeme-li pouze blízké okolí bodu x_j, můžeme použít zápis :\mathrm{d}y_j = \mathrm{d}x_j + \mathrm{d}u_j = \mathrm{d}x_j + \left(\frac{\mathrm{d}u_j}{\mathrm{d}x_i}\right)\mathrm{d}x_i Na počátku děje je vzdálenost mezi body x_j a x_j+\mathrm{d}x_j určena jako \sqrt{\mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j}. +more Na konci děje je vzdálenost částic nacházejících se původně v bodech x_j a x_j+\mathrm{d}x_j určena jako \sqrt{\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j} (kde bylo použito Einsteinovo sumační pravidlo). K popisu deformace kontinua v okolí bodu, jehož počáteční souřadnice jsou x_j a konečné y_j, se použije rozdíl čtverců uvedených délek, tzn. výraz :\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j - \mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j.

Úpravou předchozích vztahů pak dostáváme :\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j - \mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j = 2\varepsilon_{lk}\mathrm{d}x_l\mathrm{d}x_k kde byl zaveden tzv. tenzor velkých deformací :\varepsilon_{lk} = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_l} + \frac{\partial u_l}{\partial x_k} + \left(\frac{\partial u_j}{\partial x_l}\right)\left(\frac{\partial u_j}{\partial x_k}\right)\right]

Tenzor velkých deformací je funkcí souřadnic, tzn. \varepsilon_{lk}=\varepsilon_{lk}(x_i), a je to symetrický tenzor druhého řádu.

Tenzor malých deformací

Jsou-li deformace malé, jsou malé také změny vektoru posunutí u_i se souřadnicemi x_j, tzn. jsou malé také parciální derivace \frac{\partial u_i}{\partial x_j}. +more V takovém případě je v tenzoru velkých deformací člen \left(\frac{\partial u_j}{\partial x_l}\right)\left(\frac{\partial u_j}{\partial x_k}\right) malý ve srovnání s členy \frac{\partial u_k}{\partial x_l} a \frac{\partial u_l}{\partial x_k} a můžeme jej zanedbat. V takovém případě lze deformaci popsat tzv. tenzorem malých deformací :e_{lk} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_k}{\partial x_l} + \frac{\partial u_l}{\partial x_k}\right).

Pro malé deformace tedy platí :\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j-\mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j = 2e_{lk}\mathrm{d}x_l\mathrm{d}x_k \,

Vyjdeme-li z deformovaného stavu, lze tenzor malých deformací zavést vztahem :\overline{e}_{lk} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_k}{\partial y_l} + \frac{\partial u_l}{\partial y_k}\right) a platí :\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j - \mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j = 2\overline{e}_{lk}\mathrm{d}y_l\mathrm{d}y_k

Pro malé deformace jsou velikosti posunů \mathrm{d}x_i v nedeformovaném stavu a jim odpovídající \mathrm{d}y_j v deformovaném stavu přibližně stejné a není tedy nutno rozlišovat mezi tenzory malých deformací v nedeformovaném a deformovaném stavu, což znamená, že tenzory malých deformací e_{ij} a \overline{e}_{ij} můžeme považovat za ekvivalentní.

Často se používá rozklad tenzoru e_{ij} na izotropní část a deviátor :e_{ij} = \frac{e_I\delta_{ij}}{3} + \left(e_{ij}-\frac{e_I\delta_{ij}}{3}\right), kde e_I je stopa tenzoru malých deformací a \delta_{ij} je Kroneckerovo delta. Označuje se :e_{ij}^{(s)} = \frac{e_I\delta_{ij}}{3} jako izotropní část a :e_{ij}^{(d)} = e_{ij} - \frac{e_I\delta_{ij}}{3} jako deviátor deformací.

Význam složek tenzoru malých deformací

Význam diagonálních složek tenzoru e_{ij} lze určit následující úvahou.

Výraz \mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_1 je čtverec délky zvoleného elementu látky před deformací. Použijeme pro něj označení l_0^2. +more Podobně pro výraz \mathrm{d}y_i\mathrm{d}y_i, který označuje čtverec délky zvoleného elementu po deformaci, použijeme označení l^2. Potom platí :\frac{l^2-l_0^2}{l_0^2}=2e_{11} Pro malé deformace je l_0\dot= l, takže lze levou stranu pomocí přibližného vztahu \frac{l^2-l_0^2}{l_0^2}=\frac{(l-l_0)(l+l_0)}{l_0^2}\dot=\frac{(l-l_0)2l_0}{l_0^2} = 2\frac{l-l_0}{l_0}, čímž získáme :e_{11}\dot= \frac{l-l_0}{l_0}.

Složka tenzoru e_{11} malých deformací tedy odpovídá relativní změně délky elementu, který byl původně rovnoběžný s osou x_1 kartézské soustavy souřadnic. Podobně složky e_{22} a e_{33} přestavují relativní změny délek elementů, které byly původně rovnoběžné s osami x_2 a x_3.

Pro určení významu nediagonálních složek lze vyjít z rovinné deformace v rovině dané kartézskými osami x_1, x_2. Tenzor malých deformací má v takovém případě nenulové pouze složky e_{11}, e_{22}, e_{12}=e_{21}. +more Uvažujeme-li deformaci, při které jsou nenulové pouze složky se smíšenými indexy, tzn. e_{11}=e_{22}=0, e_{12}\ne 0, pak element, který byl před deformací rovnoběžný s osou x_1, tzn. lze jej před deformací popsat vektorem (\mathrm{d}x_1,0), lze po deformaci popsat vektorem \left(\mathrm{d}x_1, \frac{\partial u_2}{\partial x_1}\mathrm{d}x_1\right), kde u_2 je složka vektoru posunutí podél osy x_2. Pro úhel \alpha_1 mezi vektory (\mathrm{d}x_1,0) a \left(\mathrm{d}x_1,\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\mathrm{d}x_1\right) platí :\operatorname{tg}\,\alpha_1 = \frac{\partial u_2}{\partial x_1}.

Podobně lze pro element, který byl před deformací rovnoběžný s osou x_2, který je možné před deformací popsat vektorem (0,\mathrm{d}x_2), určit složky tohoto elementu po deformaci jako \left(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\mathrm{d}x_2,\mathrm{d}x_2\right). Pro úhel \alpha_2 mezi vektory (0,\mathrm{d}x_2) a \left(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\mathrm{d}x_2,\mathrm{d}x_2\right) platí :\operatorname{tg}\,\alpha_2 = \frac{\partial u_1}{\partial x_2}

Pro malé deformace lze použít aproximaci \operatorname{tg}\,\alpha_i \approx \alpha_i, což umožňuje psát :2 e_{12} = \frac{\partial u_2}{\partial x_1} + \frac{\partial u_1}{\partial x_2} = \alpha_1 + \alpha_2

Smíšená složka tenzoru deformace e_{12} tedy odpovídá polovině úhlu \alpha_1+\alpha_2, o který se při deformaci změní pravý úhel mezi elementy původně rovnoběžnými s kartézskými osami x_1 a x_2. Úhel \alpha_1+\alpha_2 se nazývá úhel smyku.

V obecném případě, kdy nejde o rovinnou deformaci, mohou mít elementy původně rovnoběžné s první nebo druhou kartézskou osou po deformaci také složky ve směru třetí osy. Tyto složky jsou však tak malé, že nemají podstatný vliv na úhel mezi elementy po deformaci. +more Složka e_{12} má tedy i v takovém případě stejný význam jako v případě rovinné deformace.

Obdobným způsobem lze položit složku e_{13} rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi první a třetí souřadnicovou osou a složku e_{23} rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi druhou a třetí souřadnicovou osou.

Objemová a tvarová deformace

Uvažujme v diferenciálním okolí bodu, ve kterém známe složky e_{ij}, kvádr, jehož hrany mají před deformací délky l_{01}, l_{02}, l_{03}, přičemž tyto hrany jsou rovnoběžné se směry hlavních os deformace. Daný kvádr zůstane kvádrem i po deformaci (za předpokladu malých deformací), pouze dojde ke změně délek jeho hran na l_1, l_2, l_3. +more Při vhodné volbě souřadnicové soustavy, tzn. osy souřadnicové soustavy leží ve směru hlavních os deformace (na jednotlivé stěny kvádru tedy působí pouze čistý tah nebo čistý tlak), platí :\frac{l_i-l_{0i}}{l_{0i}} = e_{ii} pro i=1,2,3.

Po deformaci lze tedy délky hran vyjádřit jako l_i=l_{0i}+l_{0i}e_{ii}. Pro objem kvádru po deformaci pak při zanedbání veličin vyšších řádů dostáváme :V=l_1l_2l_3 = (l_{01}+l_{01}e_{11})(l_{02}+l_{02}e_{22})(l_{03}+l_{03}e_{33}) = l_{01}l_{02}l_{03} + l_{01}l_{02}l_{03}(e_{11}+e_{22}+e_{33}) = V_0 + V_0 e_I což bývá obvykle zapisováno jako :e_I = \frac{V-V_0}{V_0}, kde V_0 je objem tělesa před deformací a V je objem tělesa po deformaci. +more Stopa e_I tedy popisuje relativní objemovou změnu, tedy objemovou deformaci. Vzhledem k tomu, že stopa izotropní části e_{ij} je stejná jako stopa celého tenzoru e_{ij}, odpovídá objemová deformace izotropní části objemové deformaci celého tenzoru deformací. Stopa deviátoru \operatorname{Tr}\,e^{(d)} je nulová, tzn. relativní objemová změna odpovídající deviátoru tenzoru malých deformací je také nulová. Deviátor tedy nezpůsobuje změny objemové, ale pouze změny tvaru, tedy tvarovou deformaci.

Související články

Rotace * Translace * Topologické zobrazení * Rovnice kompatibility deformací * Rychlost deformace * Deformační metoda

Externí odkazy

Kategorie:Mechanika pružnosti a pevnosti Kategorie:Fyzikální veličiny