Devatenáctiúhelník

Technology

12 hours ago

Author

Pravidelný devatenáctiúhelník a jeho úhly Devatenáctiúhelník, cizím slovem nonadecagon či enneadecagon (z řec. δεκαεννιά, dekaennia - devatenáct, a γωνία, gonia - úhel), je mnohoúhelník s devatenácti úhly, vrcholy a stranami.

Číselné údaje

Součet středových úhlů je 180°, jeden středový (a zároveň vnější) úhel tedy musí být \frac{360^\circ}{19} = 18\frac{18}{19}^\circ \approx 18{,}9474^\circ. Následkem toho je jeden vnitřní úhel 180^\circ - 18{,}9474^\circ \approx 161{,}0526^\circ, což lze též zapsat složeným zlomkem 161 \frac{1}{19}^\circ. +more Součet vnitřních úhlů tedy bude 161 \frac{1}{19}^\circ \cdot 19 = 3060^\circ.

Je-li α délka strany, pak:

* Obvod: P = 19\,a * Obsah: A = \frac{19}{4} \,a^2 \cot\left(\frac{\pi}{19}\right) * Min. poloměr: H = \frac{2\,A}{P} = \frac{a}{2} \cot\left(\frac{\pi}{19}\right) * Max. +more poloměr: R=\frac H{\cos\left(\frac{\pi}{19}\right)}=\frac a{2\sin\left(\frac{\pi}{19}\right)}.

Rýsování

Rýsování pravidelného devatenáctiúhelníku Pravidelný devatenáctiúhelník nelze narýsovat pouze za pomoci pravítka a kružítka, neboť aby bylo možno daný pravidelný mnohoúhelník narýsovat, musí být všechny jeho liché dělitele být Fermatova čísla (F_{n} = 2^{2^{ \overset{n} {}}} + 1).

Devatenáct je dělitelné devatenácti, což je liché číslo a přitom není Fermanovo. S menší odchylkou (středový úhel se změní z 18{,}9474^\circ na 18{,}9246^\circ, odchylka tedy 0{,}0228^\circ a celkově 0{,}4332^\circ) jej však lze zkonstruovat ve 14 krocích:

# Narýsujeme přímku p. # Zkonstruujeme kružnici k s poloměrem r a se středem v bodě I, jež se nalézá na přímce p. +more # Sestrojíme kružnici l se středem v pravém průsečíku přímky p a kružnice k J = p \cap k a má # Sestrojíme kružnici m se středem v levém průsečíku přímky p a kružnice k K = p \cap k. # Utvoříme přímku q, jež protíná průsečíky kružnic l a m L = l \cap m a M = l \cap m. # Sestrojíme kružnici n, jež má poloměr r a střed v průsečíku J. # Vytvoříme kružnici o, jež má poloměr r a střed v horním průsečíku kružnice k s přímkou q N = k \cap q. # Utvoříme přímku r, jež prochází průsečíky kružnice k s kružnicí n O = k \cap n a P = k \cap n. # Zkonstruujeme přímku s, jež prochází průsečíky kružnice k s kružnicí o Q = k \cap o a R = k\cap o. # Narýsujeme kružnici p se středem v průsečíku přímky p a s S = p \cap s, jež prochází bodem I. # Narýsujeme kružnici q se středem v bodě I, jež prochází průsečíkem S. # Sestrojíme přímku t, jež spojuje průsečíky kružnic p a q T = p \cap q a U = p \cap q. # Zkonstruujeme přímku u, jež prochází průsečíkem K a průsečíkem přímek t a r V = t \cap r. # Přímka u nyní svírá s přímkou p úhel α. Vzdálenost mezi jejich průsečíky s kružnicí k V = u \cap k a W = p \cap k nyní vezmeme do kružítka a po obvodu kružnice si uděláme značky, jež následně pospojujeme.

Při tomto rýsování vytvoříme mnoho bodů, průsečíků, přímek a kružnic. Zde je jejich výčet:

* Body a průsečíky: I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W * Přímky: p, q, r, s, t, u * Kružnice: k, l, m, n, o, p, q