Diferenciální forma

Diferenciální forma stupně k neboli diferenciální k-forma je matematické zobecnění funkcí na hladké varietě. Formálně jde o funkci s hodnotami ve vnější tenzorové mocnině konečného prostoru. Ekvivalentně, diferenciální forma je antisymetrická multilineární funkce, která k vektorovým polím přiřadí skalární funkci.

Méně formálně, diferenciální k-forma je objekt, který se dá integrovat přes k-rozměrné podvariety.

Někdy se pod pojmem diferenciální forma rozumí lineární diferenciální forma (1. stupně, 1-forma, Pfaffova forma), které mají důležité uplatnění např. +more v termodynamice. V souřadnicích \{x_i\} se dá lokálně vyjádřit jako :a_1(x) dx_1+\ldots +a_n(x) dx_n.

Příklad

Nejznámější příklad je diferenciál funkce f, který se v lokálních souřadnicích dá vyjádřit jako :df=\sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i. Toto vyjádření nezávisí na volbě souřadnic \{x_i\} a pro vektorové pole X je df(X)=X(f) (derivace funkce f vektorovým polem X).

Definice

M je hladká varieta. Zobrazení \alpha: M \to \bigwedge^iT^*M nazveme vnější diferenciální k-formou, pokud \alpha je hladké zobrazení a \alpha(m) \in \bigwedge^k T^*_mM , kde \bigwedge^k T^*_mM je tzv. +more vnější mocnina vektorového prostoru T^*_mM. Často označujeme \alpha(m) symbolem \alpha_m.

Prostor vnějších diferenciálních k-forem označujeme symbolem \Omega^{k}(M).

Jsou-li (U, \phi =(x^1,\ldots, x^n)) souřadnice z atlasu na M, potom \alpha_{|U} = \sum_{I}\alpha_I dx^I, kde I \subseteq \{1, \ldots, n\} je multindex délky |I|=k, \alpha_I \in \mathcal{C}^{\infty}(M) a dx^I = dx^{i_1}\wedge \ldots \wedge dx^{i_k}, i_j = 1, \ldots, n.

De Rhamův komplex

Prostor diferenciálních forem stupně k na varietě M dimenze n se značí \Omega^k(M), prostor všech diferenciálních forem \Omega(M). Na prostoru k-forem je dán De Rhamův diferenciál d:\,\Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M). +more Posloupnost 0\to\Omega^0(M)\to\ldots\to\Omega^n(M)\to 0 se nazývá De Rhamův komplex a jeho kohomologie jsou izomorfní singulárním kohomologiím s hodnotami v \R.

Kategorie:Matematická analýza Kategorie:Diferenciální geometrie