Faktorová grupa

Faktorová grupa neboli faktorgrupa nebo podílová grupa je v teorii grup grupa odvozená od dvou jiných grup způsobem, který zobecňuje dělení na grupy. V univerzální algebře je možné definovat faktorovou grupu jako grupu, která je faktoralgebrou jiné grupy.

Definice

Rozklady podle podgrupy

Levým rozkladem grupy G\,\! podle podgrupy H\,\! je množina

\{aH : a \in G\}

kde množiny aH=\{a \cdot h : h \in H\} se nazývají levé třídy rozkladu.

* Pravým rozkladem grupy G\,\! podle podgrupy H\,\! je množina

\{Ha : a \in G\}

kde množiny Ha=\{h \cdot a : h \in H\} pravé třídy rozkladu.

Normální podgrupa

Podgrupa H\,\! grupy G\,\! je normální, značíme H \triangleleft G\,\!, pokud pro všechny a \in G\,\! platí aH = Ha\,\!.

Příklad

Každá podgrupa abelovské grupy je normální.

Faktorgrupa

Jestliže H\,\. je normální podgrupa grupy G\,\. +more (symbolicky: H \triangleleft G), můžeme na množině levých rozkladových tříd zavést grupovou operaci.

aH \cdot bH = (a \cdot b) H.

Pak množina levých rozkladových tříd s touto operací tvoří opět grupu, která se nazývá faktorová grupa G\,\! podle normální podgrupy H\,\! a značí se G/H\,\!.

Příklady

Je-li G\,\. libovolná grupa s násobením, pak G\,\. +more a \{ 1 \}\,\. jsou její normální podgrupy. Pro příslušné faktorové grupy platí G/G \cong {1} a G/{1} \cong G. * Množina n\mathbb{Z}\,\. všech násobků čísla n\,\. je normální podgrupou aditivní grupy \mathbb{Z}\,\. , faktorová grupa \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\,\. je isomorfní s grupou \mathbb{Z}_n\,\.

Hlavní věty o faktorových grupách

Nechť f: G\to H je homomorfizmus grup. Pak jádro Ker(f) je normální podgrupa G a x\mapsto x Ker(f) definuje izomorfizmus grup :Im(f)\simeq G/Ker(f).

Nechť N \triangleleft G. Pak ke každému homomorfismu \varphi : G \rightarrow L grup, pro který N \subseteq Ker \varphi, existuje jediný homomorfismus \varphi ':G/N \rightarrow L takový, že \varphi = \varphi ' \circ p (kde p \,\. +more je projekce G \,\. na G/N \,\. ).

Nechť N a H jsou normální podgrupy G a N je podgrupa H. Pak N je normální podgrupa H, H/N je normální podgrupa G/N a platí

:G/H\simeq (G/N)/(H/N).

Související články

Faktoralgebra * Faktorokruh * Normální podgrupa

Literatura

Kategorie:Teorie grup