Homogenní diferenciální rovnice

Termín „homogenní“ se v matematice používá v několika významech:

# Homogenní funkce # Homogenní typ diferenciálních rovnic prvního řádu # Homogenní diferenciální rovnice (v protikladu k „nehomogenním“ diferenciálním rovnicím); jedná se o vlastnost určitých lineárních diferenciálních rovnic, která nesouvisí s výše uvedenými dvěma případy

Homogenní funkce

Definice. Funkci f(x) nazýváme homogenní funkcí stupně n, jestliže znásobením proměnné konstantním parametrem \lambda dostaneme: : f(\lambda x) = \lambda^n f(x)\,.

Tuto definici můžeme zobecnit na funkce více proměnných; například funkce dvou proměnných f(x,y) se nazývá homogenní stupně n, jestliže nahrazením obou proměnných x a y jejich násobkem \lambda x a \lambda y, dostaneme

:f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x,y)\,.

Příklad. Funkce f(x,y) = (2x^2-3y^2+4xy) je homogenní funkcí stupně 2 protože: :f(\lambda x, \lambda y) = [2(\lambda x)^2-3(\lambda y)^2+4(\lambda x \lambda y)] = (2\lambda^2x^2-3\lambda^2y^2+4\lambda^2 xy) = \lambda^2(2x^2-3y^2+4xy)=\lambda^2f(x,y).

Tato definice homogenní funkce se používá pro klasifikaci určitého typu diferenciálních rovnic prvního řádu.

Homogenní typ diferenciálních rovnic prvního řádu

Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu ve tvaru:

:M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0

je homogenního typu, jestliže obě funkce M(x, y) a N(x, y) jsou homogenní funkce stejného stupně n. To znamená, že vynásobením každé proměnná parametrem \lambda dostáváme:

:M(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n M(x,y)\, a N(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n N(x,y)\,.

odtud :\frac{M(\lambda x, \lambda y)}{N(\lambda x, \lambda y)} = \frac{M(x,y)}{N(x,y)}\,.

Metoda řešení

V podílu \frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)} = \frac{M(x,y)}{N(x,y)} můžeme položit t = 1/x. Tím podíl zjednodušíme na nějakou funkci f jedné proměnné y/x:

:\frac{M(x,y)}{N(x,y)} = \frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)} = \frac{M(1,y/x)}{N(1,y/x)}=f(y/x)\,.

Provedeme substituci y=ux a výsledek zderivujeme pomocí součinového pravidla:

:\frac{\mathrm{d}(ux)}{\mathrm{d}x} = x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} + u\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} = x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} + u,

čímž převedeme původní diferenciální rovnici na tvar umožňující separaci proměnných: : x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = f(u) - u\,;

tento tvar můžeme přímo integrovat (viz obyčejná diferenciální rovnice).

Speciální případ

Diferenciální rovnici prvního řádu tvaru: : (ax + by + c)\, \mathrm{d}x + (ex + fy + g)\, \mathrm{d}y = 0\,

(kde a, b, c, e, f, g jsou konstanty) můžeme převést na homogenní tvar lineární transformací obou proměnných (\alpha a \beta jsou konstanty): :t = x + \alpha; \,\,\,\, z = y + \beta \,.

Homogenní lineární diferenciální rovnice

Definice. Lineární diferenciální rovnice se nazývá homogenní, pokud splňuje následující podmínku: Je-li \phi(x) řešením rovnice, pak je řešením i c \phi(x), kde c je libovolná (nenulová) konstanta. +more Aby tato podmínka byla splněna, každý term v lineární diferenciální rovnici se závislou proměnnou y musí obsahovat y nebo nějakou derivaci y; konstantní term homogenitu narušuje. Lineární diferenciální rovnice, která tuto podmínku nesplňuje, se nazývá nehomogenní.

Lineární diferenciální rovnice můžeme reprezentovat aplikací lineárního operátoru na y(x) kde x je nezávislá proměnná a y je závislá proměnná. Homogenní lineární diferenciální rovnice pak má následující tvar:

: L(y) = 0 \,

kde L je diferenciální operátor tj. součet derivací, z nichž každá je znásobena nějakou funkcí f_i proměnné x:

: L = \sum_{i=1}^n f_i(x)\frac{\mathrm{d}^i}{\mathrm{d}x^i} \,; přitom f_i mohou být konstanty, ale všechny f_i se nesmí definitoricky rovnat nule.

Například následující diferenciální rovnice je homogenní

: \sin(x) \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + 4 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y = 0 \,

zatímco následující dvě jsou nehomogenní:

: 2 x^2 \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + 4 x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y = \cos(x) \,;

: 2 x^2 \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} - 3 x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y = 2 \,.

Související články

Metoda separace proměnných

Poznámky

Reference

. (Dobrý úvod do diferenciálních rovnic.) * . (Klasické referenční příručka o obyčejných diferenciálních rovnicích, poprvé publikovaná v roce 1926.)

Externí odkazy

[url=http://mathworld. wolfram. +morecom/HomogeneousOrdinaryDifferentialEquation. html]Homogenní diferenciální rovnice v MathWorld[/url] * [url=http://en. wikibooks. org/wiki/Ordinary_Differential_Equations/Substitution_1]Wikibooks: Obyčejné diferenciální rovnice/substituce 1[/url].

Kategorie:Diferenciální rovnice