Separace proměnných

Separace proměnných (Fourierova metoda) je postup při řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic v matematice založený na převedení nezávislé proměnné na jednu stranu a závislé proměnné na druhou stranu rovnice a následné integraci obou stran rovnice.

Separaci proměnných nelze provést u všech diferenciálních rovnic. Rovnice, u kterých separaci proměnných provést lze, bývají označovány jako separabilní (separovatelné).

Obyčejná diferenciální rovnice

Předpokládejme, že diferenciální rovnici lze zapsat ve tvaru

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) = g(x)h(f(x))

pro y = f(x) můžeme psát:

:\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=g(x)h(y).

Pokud h(y) ≠ 0, můžeme rovnici upravit:

:{\mathrm{d}y \over h(y)} = {g(x)\mathrm{d}x},

takže na každé straně rovnice je jenom jedna z proměnných x a y. S dx (a dy) můžeme pracovat jako s jinými prvky ve výrazu, aniž by nás zajímala formální definice dx jako diferenciálu.

Alternativní zápis

Místo Leibnizovy notace můžeme použít zápis

:\frac{1}{h(y)} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(x),

ze kterého ale není zcela zjevné, proč se tato metoda nazývá „separace proměnných“. Integrováním obou stran rovnice podle x dostáváme:

:\int \frac{1}{h(y)} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \, \mathrm{d}x = \int g(x) \, \mathrm{d}x, \qquad\qquad (1)

nebo ekvivalentně,

:\int \frac{1}{h(y)} \, \mathrm{d}y = \int g(x) \, \mathrm{d}x

díky substitučnímu pravidlu pro integrály.

Pro vyřešení rovnice stačí spočítat oba integrály. Tento postup nám umožňuje efektivně považovat derivace \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} za zlomky, které mohou být rozděleny. +more To umožňuje postupovat při řešení separabilních diferenciálních rovnic podobně jako při úpravě aritmetických výrazů:.

Poznámka: Při integraci rovnice (1) není třeba používat dvě integrační konstanty jako v

:\int \frac{1}{h(y)} \, \mathrm{d}y + C_1 = \int g(x) \, \mathrm{d}x + C_2,

stačí zavést jedinou konstantu, která je jejich rozdílem: C = C_2 - C_1.

Příklad (I)

Obyčejnou diferenciální rovnici

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=f(x)(1-f(x))

můžeme zapsat jako

:\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y(1-y).

Pokud položíme g(x) = 1 a h(y) = y(1-y), můžeme tuto rovnici zapsat ve tvaru rovnice (1) výše. Tato diferenciální rovnice je tedy separabilní.

Jak je ukázáno výše, můžeme považovat \mathrm{d}y a \mathrm{d}x za zvláštní hodnoty, takže obě strany rovnice můžeme znásobit \mathrm{d}x. Vydělením obou stran výrazem y(1 - y) dostáváme

:\frac{\mathrm{d}y}{y(1-y)}=\mathrm{d}x.

Tím jsou proměnné x a y separované, protože x je na pravé straně rovnice a y pouze na levé.

Integrováním obou stran dostaneme

:\int\frac{\mathrm{d}y}{y(1-y)}=\int \mathrm{d}x,

což pomocí rozkladu na parciální zlomky převedeme na

:\int\frac{1}{y} \, \mathrm{d}y + \int\frac{1}{1-y}\,\mathrm{d}y=\int 1 \, \mathrm{d}x,

a pak

:\ln |y| -\ln |1-y|=x+C

kde C je integrační konstanta. Trocha algebra dává řešení pro y:

:y=\frac{1}{1+Be^{-x}}.

Naše řešení můžeme zkontrolovat zderivováním nalezené funkce podle proměnné x, kde B je libovolná konstanta. Výsledek se musí shodovat s původním problémem. +more (Při řešení rovnice uvedené výše musíme být opatrní při práci s absolutními hodnotami. Ukazuje se, že různá znaménka absolutní hodnoty přispívají postupně ke kladným a záporným hodnotám B. Případ B = 0 pochází z y = 1, jak je diskutováno níže. ).

Nezapomeňte, že protože jsme dělili y a (1 - y), musíme zkontrolovat, zda řešení y(x) = 0 a y(x) = 1 není také řešením (singulárním) diferenciální rovnice (v tomto případě obě tyto funkce řešením jsou).

Příklad (II)

Populační růst je často znázorněn diferenciální rovnicí

: \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right),

kde P je populace jako funkce času t, k je rychlost růstu a K je nosná kapacita prostředí.

Pro řešení této diferenciální rovnice lze použít separaci proměnných.

: \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right) : \int\frac{\mathrm{d}P}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\int k\,\mathrm{d}t

Pro výpočet integrálu na levé straně zlomek zjednodušíme

: \frac{1}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\frac{K}{P\left(K-P\right)}

a pak jej rozložíme na částečné zlomky

: \frac{K}{P\left(K-P\right)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}

Čímž dostaneme

: \int\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}\right)\,\mathrm{d}P=\int k\,\mathrm{d}t : \ln\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}-\ln\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}=kt+C : \ln\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}-\ln\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}=-kt-C : \ln\begin{vmatrix}\cfrac{K-P}{P}\end{vmatrix}=-kt-C : \begin{vmatrix}\cfrac{K-P}{P}\end{vmatrix}=e^{-kt-C} : \begin{vmatrix}\cfrac{K-P}{P}\end{vmatrix}=e^{-C}e^{-kt} : \frac{K-P}{P}=\pm e^{-C}e^{-kt} : Nechť A=\pm e^{-C}. : \frac{K-P}{P}=Ae^{-kt} : \frac{K}{P}-1=Ae^{-kt} : \frac{K}{P}=1+Ae^{-kt} : \frac{P}{K}=\frac{1}{1+Ae^{-kt}} : P=\frac{K}{1+Ae^{-kt}}

Proto řešení logistické rovnice je

: P\left(t\right)=\frac{K}{1+Ae^{-kt}}

Pro nalezení A, položíme t=0 a P\left(0\right)=P_0. Pak máme

: P_0=\frac{K}{1+Ae^0}

Vzhledem k tomu, že e^0=1, dostaneme řešení pro A

: A=\frac{K-P_0}{P_0}

Parciální diferenciální rovnice{{Anchor|pde}}

Metoda separace proměnných se používá také pro řešení množství lineárních parciálních diferenciálních rovnic s okrajovou a počáteční podmínkou, jako například rovnice vedení tepla, vlnová rovnice, Laplaceova rovnice a Helmholtzova rovnice.

Homogenní případ

Uvažujme jednorozměrnou rovnici vedení tepla:

{{Vzorec|\frac{\partial u}{\partial t}-\alpha\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=0|1}}

Hraniční podmínka je homogenní, to jest {{Vzorec|u\big|_{x=0}=u\big|_{x=L}=0 |2}}

Pokusíme se hledat řešení které není identicky rovné nule, a které splňuje okrajovou podmínku ale s následující vlastností: u je součin, ve kterém je závislost u na x a t oddělena, to jest:

Substitucí u zpátky do rovnice a použitím součinového pravidla dostaneme

{{Vzorec|\frac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \frac{X(x)}{X(x)}.|4}}

Protože pravá strana závisí pouze na x a levá strana pouze na t, obě strany jsou rovné nějaké konstantní hodnotě − λ. Tedy:

a

− λ zde je vlastní hodnota pro oba diferenciální operátory a T(t) a X(x) jsou odpovídající vlastní funkce.

Nyní ukážeme, že řešení pro X(x) pro hodnoty λ ≤ 0 nemůže existovat:

Předpokládejme, že λ X(x) = B e^{\sqrt{-\lambda} \, x} + C e^{-\sqrt{-\lambda} \, x}.

Z dostaneme

a proto B = 0 = C, což implikuje, že u je identicky rovno 0.

Předpokládejme, že λ = 0. Pak existují reálná čísla B, C taková, že

:X(x) = Bx + C.

Z odvodíme stejným způsobem jako v 1, že u je identicky rovno 0.

Proto musí existovat případ, kdy λ > 0. Pak existují reálná čísla A, B, C taková, že :T(t) = E^{-\lambda \alpha t}, a :X(x) = B \sin(\sqrt{\lambda} \, x) + C \cos(\sqrt{\lambda} \, x).

Z dostaneme C = 0 a, které pro nějaké kladné celé číslo n,

:\sqrt{\lambda} = n \frac{\pi}{L}.

Toto je řešení rovnice šíření tepla ve speciálním případě, kdy závislost u má speciální tvar .

Obecně suma řešení které vyhovují hraniční podmínce také vyhovuje a . Tudíž úplné řešení může být daný jako

:u(x,t) = \sum_{n = 1}^{\infty} D_n \sin \frac{n\pi x}{L} \exp\left(-\frac{n^2 \pi^2 \alpha t}{L^2}\right),

kde Dn jsou koeficienty určené počáteční podmínkou.

Je-li dána počáteční podmínka

:u\big|_{t=0}=f(x),

můžeme dostat

:f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} D_n \sin \frac{n\pi x}{L}.

Toto je sinová řada rozvoje funkce f(x). Znásobením obou stran \sin \frac{n\pi x}{L} a integrováním na [0,L] dává

:D_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} \, \mathrm{d}x.

Tato metoda vyžaduje, aby vlastní funkce x, zde \left\{\sin \frac{n\pi x}{L}\right\}_{n=1}^{\infty}, byly ortogonální a úplné. To je obecně zaručeno Sturm-Liouvilleovou teorií.

Nehomogenní případ

Předpokládejme, že rovnice je nehomogenní

{{Vzorec|\frac{\partial u}{\partial t}-\alpha\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=h(x,t)|8}}

s okrajovou podmínkou stejnou jako .

Rozšíříme h(x,t), u(x,t) a f(x,t) na

{{Vzorec|h(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}h_{n}(t)\sin\frac{n\pi x}{L},|9}}

{{Vzorec|u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(t)\sin\frac{n\pi x}{L},|10}}

{{Vzorec|f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin\frac{n\pi x}{L},|11}}

kde hn(t) a bn můžeme vypočítat integrací, zatímco un(t) je třeba určit.

Substitujeme a zpátky na a uvažováním ortogonality funkce sinus dostaneme

: u'_{n}(t)+\alpha\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}u_{n}(t)=h_{n}(t),

což jsou posloupnosti lineárních diferenciálních rovnic, které lze ihned řešit, například Laplaceovou transformací nebo Integrační faktor. Navíc můžeme dostat : u_{n}(t)=e^{-\alpha\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}} t} \left (b_{n}+\int_{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}} s} \, \mathrm{d}s \right).

Jestliže je okrajová podmínka nehomogenní, pak expansion a není povolený. Hledáme funkci v, která vyhovuje okrajové podmínce pouze a subtract na z u. +more Funkce u-v pak vyhovuje homogenní okrajové podmínce a lze ji řešt výše uvedenou metodou.

Separaci proměnných lze provádět i v ortogonální křivočaré souřadnicové soustavě, ale v detailech se liší od postupu v Kartézských souřadnicích. Například podmínka regularity nebo periodicity podmínka může určovat vlastní hodnoty místo okrajových podmínek. +more Viz např. sférické harmonické funkce.

Software

Xcas: split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Matice

Maticový tvar separace proměnných je Kroneckerova suma.

Jako příklad uvažujme 2D diskrétní Laplacián na regulární mřížce:

:L = \mathbf{D_{xx}}\oplus\mathbf{D_{yy}}=\mathbf{D_{xx}}\otimes\mathbf{I}+\mathbf{I}\otimes\mathbf{D_{yy}}, \,

kde \mathbf{D_{xx}} a \mathbf{D_{yy}} jsou 1D diskrétní Laplaciány ve směru x, resp. y a \mathbf{I} jsou identity vhodné velikosti. +more Podrobnější informace jsou v článku Kroneckerova suma diskrétních Laplaciánů.

Reference

Související články

Proměnná * Diferenciální rovnice Podrobnější informace o separaci proměnných: * Obyčejné diferenciální rovnice * Parciální diferenciální rovnice

Externí odkazy

[url=http://eqworld. ipmnet. +moreru/en/education/edu-pde. htm]Methods of Generalized and Functional Separation of Variables[/url] at EqWorld: The World of Mathematical Equations * [url=https://web. archive. org/web/20100125064547/http://www. exampleproblems. com/wiki/index. php/PDE:Integration_and_Separation_of_Variables]Examples[/url] of separating variables to solve PDEs * [url=http://www. math-cs. gordon. edu/courses/mat225/handouts/sepvar. pdf]"A Short Justification of Separation of Variables"[/url].

Kategorie:Diferenciální rovnice Kategorie:Obyčejné diferenciální rovnice Kategorie:Parciální diferenciální rovnice