Integrační faktor

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

V matematice je integrační faktor funkce, kterou je potřeba znásobit danou rovnici obsahující diferenciály, abychom dostali její řešení. Používá se nejen pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic, ale i v diferenciálním a integrálním počtu funkcí více proměnných, kde můžeme neexaktní diferenciál vynásobením integračním faktorem převést na exaktní (který je pak možné integrovat pro získání skalárního pole). To je zvlášť užitečné v termodynamice. Například funkce 1/\Theta (\Thetaje termodynamická teplota) je integračním faktorem veličiny Q (teplo). Diferenciál \delta Q není ve stavových proměnných totální diferenciál, kdežto \textrm d \frac Q \Theta již ano. Veličina \int \frac{ \delta Q} {\Theta} je již stavovou funkcí a až na konstantu S_0 určuje veličinu entropie.

Použití při řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu

Integrační faktory jsou užitečné pro řešení obyčejných diferenciálních rovnice, které lze vyjádřit ve tvaru

: y'+ P(x)y = Q(x)

Základní myšlenkou je najít nějakou funkci M(x) nazývanou „integrační faktor“, kterou můžeme znásobit naši diferenciální rovnici, abychom levou stranu dostali pod společnou derivaci. Pro kanonické lineární diferenciální rovnice prvního řádu uvedeného tvaru použijeme integrační faktor

:M(x) = e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s}

znásobení původní rovnice výrazem M(x) dává

:y' e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s} + P(x) y e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s} = Q(x)e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s}

a použitím součinového pravidla v opačném směru lze levou stranu vyjádřit jako jedinou derivaci podle x

:y' e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s} + P(x) y e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s})

Tuto skutečnost použijeme pro zjednodušení našeho výrazu na

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s}) = Q(x) e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s}

Pak obě strany integrujeme vzhledem k x, přičemž nejdříve přejmenujeme x na t, takže dostaneme

:y e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s} = \int_{t_0}^{x} Q(t) e^{\int_{s_0}^{t} P(s) \mathrm{d}s} \,\mathrm{d}t + C

Přesunutím exponenciálních funkcí na pravou stranu dostaneme obecné řešení naší obyčejné diferenciální rovnice:

:y = e^{- \int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s} \int_{t_0}^x Q(t) e^{\int_{s_0}^{t} P(s) \mathrm{d}s}\, \mathrm{d}t + Ce^{- \int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s}

V případě homogenní diferenciální rovnice, u níž je Q(x) = 0, dostáváme

: y = \frac{C}{e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s}}

kde C je konstanta.

Příklad

Řešte diferenciální rovnici

:y'-\frac{2y}{x} = 0.

Vidíme, že v tomto případě P(x) = \frac{-2}{x}

:M(x)=e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x}

:M(x)=e^{\int \frac{-2}{x}\,\mathrm{d}x} = e^{-2 \ln x} = {(e^{\ln x})}^{-2} = x^{-2} (všimněte si, že nemusíme používat integrační konstantu - stačí nám libovolné řešení, nepotřebujeme obecné řešení)

:M(x)=\frac{1}{x^2}.

Znásobením obou stran výrazem M(x) dostaneme

:\frac{y'}{x^2} - \frac{2y}{x^3} = 0

:\frac{y'x^3 - 2x^2y}{x^5} = 0

:\frac{x(y'x^2 - 2xy)}{x^5} = 0

:\frac{y'x^2 - 2xy}{x^4} = 0.

Obrácením podílového pravidla dostaneme

:\left(\frac{y}{x^2}\right)' = 0

nebo

:\frac{y}{x^2} = C\,

což dává

:y\left(x\right) = Cx^2.

Obecné použití

Integrační faktor je libovolný výraz, kterým násobíme diferenciální rovnici, abychom umožnili její integraci. Není omezen na lineární rovnice prvního řádu. +more Například u nelineární rovnice druhého řádu.

:\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2} = A y^{2/3}

lze jako integrační faktor použít \tfrac{d y}{d t}:

:\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = A y^{2/3} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}.

Pro integraci si všimněte, že obráceným použitím řetězového pravidla lze obě strany rovnice vyjádřit jako derivace:

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac 1 2 \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\right)^2\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(A \frac 3 5 y^{5/3}\right).

odtud

:\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\right)^2 = \frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0.

Tento tvar může být v některých případech užitečnější. Provedením separace proměnných dostaneme:

:\int \frac{d y}{\sqrt{\frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0}} = t + C_1;

toto je implicitní řešení, které zahrnuje neelementární integrál. Pro svou složitost pravděpodobně není příliš užitečné, ale jedná se o obecné řešení. +more Stejnou metodu lze použít pro výpočet periody jednoduchého kyvadla.