Podílové pravidlo

Podílové pravidlo v diferenciálním počtu je vzorec používaný pro derivaci podílu dvou funkcí. Může být zapsáno takto:

Jestliže derivujeme funkci f(x), která je podílem dvou funkcí:

:f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

a h(x)\not=0, pak derivace g(x)/h(x) je

:f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}.

Důkaz

Důkaz pomocí implicitní derivace:

:Z f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} plyne g(x) = f(x)h(x) \mbox{ } \,

:Podle součinového pravidla g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x)\mbox{ } \,

:odtud dostaneme f'(x)=\frac{g'(x) - f(x)h'(x)}{h(x)} = \frac{g'(x)\cdot\frac{h(x)}{h(x)} - \frac{g(x)}{h(x)}\cdot h'(x)}{h(x)}

:tedy f'(x)=\frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^2}

Důkaz pomocí řetízkového pravidla:

:Vztah f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} přepíšeme použitím záporného mocnitele:

:f(x) = g(x) \cdot h(x)^{-1}

:Obě strany zderivujeme a na pravou stranu použijeme součinové pravidlo: f'(x) = g'(x) \cdot h(x)^{-1} + g(x) \cdot (h(x)^{-1})'

:Pro výpočet derivace druhého členu použijeme řetízkové pravidlo, přičemž vnější funkce je x^{-1} a vnitřní h(x).

:f'(x) = g'(x) \cdot h(x)^{-1} + g(x) \cdot (-1) h(x)^{-2} h'(x)

:Převedeme na společného dělitele: f'(x) = \frac {g'(x)}{h(x)} - \frac {g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}

:f'(x) = \frac {g'(x) \cdot h(x) - h'(x) \cdot g(x)}{[h(x)]^2}

Vzorce pro derivace vyšších řádů

Pro výpočet derivací vyšších řádů je mnohem snazší použít řetízkové pravidlo než implicitní derivaci. Výsledkem dvou implicitních derivací funkce fh=g je fh + 2f'h' + fh = g a řešením pro f je

: f = \frac{g - 2f'h' - fh}{h}.

Odkazy

Reference

Kategorie:Pravidla derivování