Variace konstant

Metoda variace konstant nebo variace parametrů je v matematice obecná metoda řešení nehomogenních lineárních obyčejných diferenciálních rovnic.

U rovnic prvního řádu je obvykle snazší hledat řešení metodou integračních faktorů nebo neurčitých koeficientů. Tyto metody však využívají heuristiky, které zahrnují hádání, a nefungují pro všechny nehomogenní lineární diferenciální rovnice.

Metodu variace konstant lze použít i pro lineární parciální diferenciální rovnice, konkrétně pro nehomogenní problémy u rovnic s lineárním rozvojem, jako je rovnice vedení tepla, vlnová rovnice a rovnice kmitající desky. V těchto případech je metoda známější pod názvem Duhamelův princip, podle Jean-Marie Duhamela, který ji poprvé použil na řešení nehomogenní rovnice vedení tepla. +more Někdy je přímo variace parametrů nazývána Duhamelův princip a naopak.

Historie

Metodu variace konstant poprvé použil švýcarský matematik Leonhard Euler (1707-1783) a rozpracoval italsko-francouzský matematik Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Předchůdce metody variace dráhových parametrů nebeských těles se objevil v Eulerově práci v roce 1748, kdy studoval vzájemné poruchy pohybu Jupitera a Saturna. +more Při studiu pohybu Země v roce 1749 získal Euler diferenciální rovnice pro dráhové parametry a v roce 1753 aplikoval tuto metodu na své studium pohybu Měsíce. Lagrange první použil tuto metodu v roce 1766. V letech 1778-1783 Lagrange metodu dále rozvinul jak v řadě monografií o poruchách pohybu planet, tak v další řadě prací o určování drah komet ze tří pozorování. (Je třeba zmínit, že Euler a Lagrange aplikovali tuto metodu na nelineární diferenciální rovnice, a že místo variací koeficientů v lineární kombinaci řešení homogenní rovnice aplikovali variace na konstanty v rovnicích nerušených pohybů nebeských těles). Během let 1808-1810 dal Lagrange metodě variace parametrů její konečnou podobu v řadě prací. Hlavním výsledkem jeho studia byl systém planetárních rovnic v Lagrangeově tvaru, který popisuje rozvoj Keplerovských dráhových parametrů pohybu tělesa rušeného dalšími tělesy.

Ve svém popisu rozvojů drah Lagrange vycházel ze zjednodušeného problému dvou těles pro získání nerušeného řešení a předpokládal, že všechny poruchy pocházejí z gravitačního působení ostatních těles na obíhající těleso. Následkem toho jeho metoda předpokládá, že poruchy závisí pouze na poloze obíhajícího tělesa, ne na jeho rychlosti. +more Od 20. století se v nebeské mechanice uvažují interakce, které závisí nejen na polohách ale i rychlostech (relativistické korekce, odpor atmosféry, inerciální síly). Proto byla metoda variace parametrů používaná Lagrangem rozšířena na situace se silami závislými na rychlosti.

Popis metody

Je-li dána obyčejná nehomogenní lineární diferenciální rovnice řádu n

:y^{(n)}(x) + \sum_{i=0}^{n-1} a_i(x) y^{(i)}(x) = b(x).\quad\quad {\rm (i)}

nechť y_1(x), \ldots, y_n(x) je fundamentální systém řešení odpovídající homogenní rovnici

:y^{(n)}(x) + \sum_{i=0}^{n-1} a_i(x) y^{(i)}(x) = 0.\quad\quad {\rm (ii)}

Pak určité řešení nehomogenní rovnice je

:y_p(x) = \sum_{i=1}^{n} c_i(x) y_i(x)\quad\quad {\rm (iii)}

kde c_i(x) jsou derivovatelné funkce, tj. předpokládá se, že vyhovují podmínce

:\sum_{i=1}^{n} c_i'(x) y_i^{(j)}(x) = 0 \, \mathrm{,} \quad j = 0,\ldots, n-2.\quad\quad {\rm (iv)}

začínáme s (iii), opakovaná diferenciace kombinovaná s opakovaným použitím (iv) dává :y_p^{(j)}(x) = \sum_{i=1}^{n} c_i(x) y_i^{(j)}(x) \, \mathrm{,} \quad j=0,\ldots,n-1 \, \mathrm{.} \quad\quad {\rm (v)}

Poslední diferenciace dává

:y_p^{(n)}(x)=\sum_{i=1}^n c_i'(x)y_i^{(n-1)}(x)+\sum_{i=1}^n c_i(x) y_i^{(n)}(x)\, \mathrm{.} \quad\quad{\rm (vi)}

Substitucí (iii) do (i) a použitím (v) a (vi) dostáváme, že :\sum_{i=1}^n c_i'(x) y_i^{(n-1)}(x) = b(x).\quad\quad {\rm (vii)}

Lineární systém (iv a vii) n-té rovnice pak lze vyřešit pomocí Cramerova pravidla, což dává

:c_i'(x) = \frac{W_i(x)}{W(x)}, \, \quad i=1,\ldots,n

kde W(x) je Wronskián fundamentálního systému a W_i(x) je Wronskián fundamentálního systému s i-tým sloupcem nahrazeným (0, 0, \ldots, b(x)).

Určité řešení nehomogenní rovnice lze pak psát jako

:\sum_{i=1}^n y_i(x) \, \int \frac{W_i(x)}{W(x)} \mathrm{d}x.

Příklady

Zvláštní rovnice druhého řádu

Máme řešit rovnici : y+4y'+4y=\cosh{x}.\;\!

nejdříve najdeme obecné řešení diferenciální rovnice, to jest řešení homogenní diferenciální rovnice : y+4y'+4y=0. \;\. +more určíme kořeny charakteristické rovnice : \lambda^2+4\lambda+4=(\lambda+2)^2=0\;\. : \lambda=-2. \;\. protože řešením je vícenásobný kořen, musíme zavést faktor x pro jedno řešení pro zajištění lineární nezávislosti.

Tak získáme u1 = e−2x a u2 = xe−2x. Wronskián těchto dvou funkcí je : \begin{vmatrix} e^{-2x} & xe^{-2x} \\ -2e^{-2x} & -e^{-2x}(2x-1)\\ \end{vmatrix} = -e^{-2x}e^{-2x}(2x-1)+2xe^{-2x}e^{-2x} := -e^{-4x}(2x-1)+2xe^{-4x}= (-2x+1+2x)e^{-4x} = e^{-4x}. +more\;\.

Protože Wronskián je nenulový, funkce jsou lineárně nezávislé, takže jsme získali přímo obecné řešení homogenní diferenciální rovnice (nejen jeho podmnožinu).

Hledáme funkce A(x) a B(x), tak že A(x)u1 + B(x)u2 je obecné řešení nehomogenní rovnice. Potřebujeme pouze vypočítat integrály :A(x) = - \int {1\over W} u_2(x) b(x)\,\mathrm{d}x,\; B(x) = \int {1 \over W} u_1(x)b(x)\,\mathrm{d}x to jest, :A(x) = - \int {1\over e^{-4x}} xe^{-2x} \cosh{x}\,\mathrm{d}x = - \int xe^{2x}\cosh{x}\,\mathrm{d}x = -{1\over 18}e^x(9(x-1)+e^{2x}(3x-1))+C_1 :B(x) = \int {1 \over e^{-4x}} e^{-2x} \cosh{x}\,\mathrm{d}x = \int e^{2x}\cosh{x}\,\mathrm{d}x ={1\over 6}e^{x}(3+e^{2x})+C_2 kde C_1 a C_2 jsou integrační konstanty.

Obecné rovnice druhého řádu

Máme diferenciální rovnici tvaru :u+p(x)u'+q(x)u=f(x)\, a definujeme lineární operátor :L=D^2+p(x)D+q(x)\, kde D reprezentuje diferenciální operátor. Proto máme jak řešit rovnice L u(x)=f(x) pro u(x), kde L a f(x) jsou známé.

Musíme vyřešit první odpovídajícím homogenní rovnici: :u+p(x)u'+q(x)u=0\, libovolnou technikou, kterou si vybereme. Jakmile budeme mít dvě lineárně nezávislá řešení této homogenní diferenciální rovnice (protože se jedná o rovnici druhého řádu) - označíme je u1 a u2 - můžeme využít metodu variace konstant.

Od tohoto okamžiku tedy hledáme obecné řešení diferenciální rovnice u_G(x), o němž předpokládáme, že je tvaru :u_G(x)=A(x)u_1(x)+B(x)u_2(x).\,

kde A(x) a B(x) jsou neznámé funkce a u_1(x) a u_2(x) jsou řešení na homogenní rovnice. Všimněte si, že jestliže A(x) a B(x) jsou konstantní, pak Lu_G(x)=0. +more Požadujeme, aby A=A(x) a B=B(x) byla tvaru :A'(x)u_1(x)+B'(x)u_2(x)=0. \,.

Nyní, :u_G'(x)=(A(x)u_1(x)+B(x)u_2(x))'=(A(x)u_1(x))'+(B(x)u_2(x))'\, :=A'(x)u_1(x)+A(x)u_1'(x)+B'(x)u_2(x)+B(x)u_2'(x)\, :=A'(x)u_1(x)+B'(x)u_2(x)+A(x)u_1'(x)+B(x)u_2'(x)\, a díky platnosti výše uvedené podmínky dostáváme :u_G'(x)=A(x)u_1'(x)+B(x)u_2'(x). \, Dalším derivováním (mezikroky nejsou uvedeny) :u_G(x)=A(x)u_1(x)+B(x)u_2(x)+A'(x)u_1'(x)+B'(x)u_2'(x). +more\,.

Nyní můžeme zapsat použití L na uG jako :Lu_G=A(x)Lu_1(x)+B(x)Lu_2(x)+A'(x)u_1'(x)+B'(x)u_2'(x).\, Protože u1 a u2 jsou řešení, pak :Lu_G=A'(x)u_1'(x)+B'(x)u_2'(x).\,

dostáváme systém rovnic :\begin{pmatrix} u_1(x) & u_2(x) \\ u_1'(x) & u_2'(x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A'(x) \\ B'(x)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ f\end{pmatrix}. roznásobením dostaneme :\begin{pmatrix} A'(x)u_1(x)+B'(x)u_2(x)\\ A'(x)u_1'(x)+B'(x)u_2'(x)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\f\end{pmatrix}. +more Takže výše uvedený systém určuje právě podmínku :A'(x)u_1(x)+B'(x)u_2(x)=0\, :A'(x)u_1'(x)+B'(x)u_2'(x)=Lu_G=f. \,.

Hledáme A(x) a B(x) z této podmínky, tak, daný :\begin{pmatrix} u_1(x) & u_2(x) \\ u_1'(x) & u_2'(x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A'(x) \\ B'(x)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ f\end{pmatrix} můžeme řešit pro (A′(x), B′(x))T, tak :\begin{pmatrix} A'(x) \\ B'(x)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} u_1(x) & u_2(x) \\ u_1'(x) & u_2'(x) \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0\\ f\end{pmatrix} :={1\over W} \begin{pmatrix} u_2'(x) & -u_2(x) \\ -u_1'(x) & u_1(x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ f\end{pmatrix}, kde W označuje Wronskián u1 a u2. (Z předpokladu, že u1 a u2 jsou lineárně nezávislé, víme, že W je nenulový. +more).

Tedy :A'(x) = - {1\over W} u_2(x) f(x),\; B'(x) = {1 \over W} u_1(x)f(x) :A(x) = - \int {1\over W} u_2(x) f(x)\,\mathrm{d}x,\; B(x) = \int {1 \over W} u_1(x)f(x)\,\mathrm{d}x.

Zatímco homogenní rovnice lze řešit relativně snadno, tato metoda umožňuje výpočet koeficientů obecného řešení nehomogenní rovnice a tedy umožňuje zjistit úplné obecné řešení nehomogenní rovnice.

Všimněte si, že A(x) a B(x) jsou vesměs určeny až na aditivní konstantu (integrační konstanta); očekávali bychom dvě integrační konstanty, protože původní rovnice byla druhého řádu. Přidáním konstanty k A(x) nebo B(x) se hodnota Lu_G(x) nezmění, protože L je lineární.

Reference

, stránky 186-192, 237-241

Externí odkazy

Paul Dawkins Lamar University: [url=http://tutorial. math. +morelamar. edu/classes/de/VariationofParameters. aspx]Online poznámky a důkaz[/url]. * [url=http://planetmath. org/encyclopedia/VariationOfParameters. html]Stránka PlanetMath[/url] . * [url=http://demonry. com/1928272. html]Motivace metody nebeskou mechanikou[/url], [url=https://web. archive. org/web/20100726095702/http://www. math-cs. ucmo. edu/~mjms/2007. 1/srinivasan10. pdf](původní URL)[/url].

Kategorie:Obyčejné diferenciální rovnice