Diferenciál (matematika)

Technology

12 hours ago

Author

Diferenciál v matematice vyjadřuje závislost změny hodnoty funkce na malé změně jejího argumentu. Tuto závislost aproximuje jako přímou úměrnost v okolí zvoleného bodu. Pro funkce více proměnných se používá totální diferenciál. Diferenciály se hojně využívají při práci s diferenciálními rovnicemi.

Diferenciál \mathrm{d}y funkce y = f(x) v bodě x při změně argumentu \mathrm{d}x je součin : \mathrm{d}y = f'(x)\, \mathrm{d}x, kde f'(x) je derivace funkce f v bodě x, přičemž pro existenci diferenciálu je nutná (a postačující) existence této derivace.

Použití k aproximaci funkce

S použitím diferenciálu lze hodnotu funkce y = f(x) v okolí bodu x vyjádřit vztahem : f(x + \mathrm{d}x) = y + \mathrm{d}y + \varepsilon, kde : y = f(x) je hodnota funkce f v bodě x, : \mathrm{d}y = f'(x)\, \mathrm{d}x je diferenciál funkce f v bodě x při změně argumentu \mathrm{d}x, : \varepsilon je chyba aproximace, která je pro malé \mathrm{d}x velmi malá: :: \lim_{\mathrm{d}x \to 0}{\varepsilon} = 0