Populační dynamika

Fázový portrrét modelu konkurence dvou druhů ukazující slabou konkurenci a koexistenci obou druhů. Populační dynamika popisuje kvantitativními matematickými modely rychlost růstu populací živočichů, rostlin, nebo obecně objektů stejného druhu. Využívá zpravidla aparát založený na diferenciálních rovnicích (a výsledkem jsou spojité modely) nebo na diferenčních rovnicích (a výsledkem jsou diskrétní modely)

Spojité jednodruhové růstové modely

Ve spojitých modelech je velikost populace popsána spojitou funkcí času. Je-li x(t) velikost populace v čase t, je rychlost růstu dána derivací \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} a udává se v jednotkách velikosti populace za jednotku času. +more Výraz \frac 1x \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}je relativní rychlost růstu.

Exponenciální růst

Pokud populace roste rychlostí úměrnou velikosti populace, je jejím matematickým modelem diferenciální rovnice \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=kx,kde k je konstanta. Řešením této rovnice vyhovujícím počáteční podmínce x(0)=x_0 je exponenciální funkce x(t)=x_0 \mathrm {e}^{kt} a jedná se tedy o exponenciální růst. +more Tento model nezohledňuje omezenou úživnost prostředí a je vhodný jenom dokud tato úživnost není faktorem zpomalujícím populační růst. Hodí se tedy zpravidla pro malé rozrůstající se populace. Při exponenciálním růstu je relativní rychlost růstu konstantní.

Logistický růst

Srovnání lineárního růstu, exponenciálního růstu a logistického růstu. +more Logistický růst zohledňuje vnitrodruhovou konkurenci a omezenou nosnou kapacitu prostředí (omezenou úživnost). Předpokládá, že rychlost růstu je úměrná současně velikosti populace a volné kapacitě prostředí. Matematickým vyjádřením je diferenciální rovnice \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=rx\left(1-\frac xK\right),kde r je invazní parametr a K je nosná kapacita prostředí. Logistický růst je široce přijímaným výchozím modelem pro modelování popoulací, protože funkce vystupující v tomto modelu je dostatečně jednoduchá (známe dokonce analytické řešení, kterým je logistická funkce) a přitom dostatečně flexibilní pro některé modifikace, jako například různé strategie lovu populace. Terminologie založená na označení koeficientů logistické rovnice se používá používá i při označování životních strategií, kdy rozeznáváme r-stratégy a K-stratégy.

Spojité vícedruhové růstové modely

Vícedruhové modely zohledňují interakci mezi dvěma či více druhy. Ukazují například, že při konkurenci dvou druhů může v závislosti na parametrech dojít ke konkurenčnímu vyloučení jednoho z druhů, nebo že ve společenství dravce a kořisti je přirozené pozorovat oscilace. +more Matematickým nástrojem jsou zpravidla autonomní systémy diferenciálních rovnic, které umožňují podobnou analýzu pomocí fázového portrétu, nulklin, stacionárních bodů a vlastních čísel Jacobiho matice v těchto bodech.

Model konkurence dvou druhů

Konkurence dvou druhů je modelována dvojicí logistických rovnic pro dvě populace, přičemž rychlost růstu každé z populací je ještě ovlivněna přítomností druhé populace. V nejjednodušším modelu s mezidruhovou konkurencí přímo úměrnou oběma populacím je matematickým modelem soustava rovnic\begin{aligned}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}&=r_1x\left(1-\frac x{K_1}\right)-k_1 xy,\\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}&=r_2x\left(1-\frac x{K_2}\right)-k_2 xy. +more \end{aligned}.

Lotkův Volterrův model dravce a kořisti

+more4,_0. 4,_0. 1). svg|náhled'>Lotkův Volterrův model dravce a kořisti vysvětluje oscilaci obou populací v čase. Lotkův Volterrův model dravce a kořisti je nejjednodušším modelem dravce a kořisti, který pro jednoduchost předpokládá exponenciální růst populace kořisti (ve skutečnosti se často projeví nosná kapacita prostředí) a neuvažuje saturaci predátorů. Má tvar \begin{align} \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} &= \alpha x - \beta x y, \\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt} &= - \gamma y + \delta x y. \end{align}.

Obecný model dravce a kořisti

Lotkův Volterrův model dokáže vysvětlit základní dynamiku systému dravce a kořisti, jako například oscilaci obou populací nebo změnu střední hodnoty při změně parametrů systému, ale řadu věcí podchytit pro svou jednoduchost nedokáže. Proto byly vyvinuty realističtější modely dravce a kořisti.

Diskrétní růstové modely

V diskrétních modelech je velikost populace popsána posloupností. Příslušné modely mají povahu rekurentních vztahů nebo diferenčních rovnic.

Diskrétní logistická rovnice

Diskrétní logistická rovnice je obdoba logistické rovnice pro posloupnosti. Má tvar x_{n+1} = r x_n \left(1-x_n\right).

Leslieho model

Leslieho model je maticový model umožňující sledovat věkovou strukturu populace.

Reference

Externí odkazy

Nicolas Bacaër, Lenka Přibylová, Veronika Eclerová, Zdeněk Pospíšil, Luděk Berec, Vlastimil Křivan: Stručná historie matematické populační dynamiky, ISBN 979-10-343-9751-8, 2022, [url=http://www. ummisco. +moreird. fr/perso/bacaer/cs. pdf]PDF[/url].

Kategorie:Diferenciální rovnice Kategorie:Demografie Kategorie:Aplikovaná matematika