Autonomní systém (matematika)

Obecná definice

Autonomní systém je vektorová diferenciální rovnice \frac{\mathrm dX}{\mathrm dt}=F(X),kde X je n-vektorová funkce skalární proměnné t a F je n-vektorová funkce n proměnných. Rozepsáno v komponentách se jedná o soustavu n diferenciálních rovnic, kdy v každé rovnici figuruje derivace jedné neznámé funkce, rovnice je explicitně rozřešena vzhledem k této derivaci a na pravé straně explicitně nefiguruje nezávislá proměnná t. +more Protože se s autonomními systémy pracuje často pro veličiny závislé na čase, nazývá se nezávislá proměnná v úlohách tohoto typu čas.

Níže předpokládáme, že všechny funkce jsou "rozumné funkce" a díky tomu má každá počáteční úloha právě jedno řešení.

Jednorozměrný autonomní systém

Směrové pole a integrální křivky jednorozměrného autonomního systému. Barevně vyznačena stacionární řešení.

Jednorozměrným autonomním systémem je diferenciální rovnice tvaru \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=f(x). Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými a proto je možné najít její obecné řešení integrací.

Řešení jsou buď rostoucí funkce (je-li funkce f v počáteční podmínce kladná), nebo klesající funkce (je-li funkce f v počáteční podmínce záporná), nebo konstantní funkce (je-li funkce f v počáteční podmínce nulová).

Nekonstantní řešení buď není ohraničené, nebo konverguje ke konstantnímu řešení.

Izokliny ve směrovém poli jsou vodorovné přímky.

Je-li funkce x(t) řešení, potom i funkce x(t+c) posunutá v čase je řešením.

Konstantní řešení se nazývají též stacionární body. Je možné je nalézt jako řešení rovnice f(x)=0. +more Je-li funkce f ve stacionárním bodě klesající, znamená to, že řešení s počáteční podmínkou danou v okolí stacionárního bodu konvergují k tomuto stacionárnímu bodu (zdola rostou resp. shora klesají). Takový stacionární bod se nazývá stabilní. Je-li funkce f ve stacionárním bodě rostoucí, je situace opačná a stacionární bod je nestabilní.

Příklad. Na připojeném obrázku je typický průběh integrálních křivek a směrové pole jednorozměrného autonomního systému \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} = rx\left(1-\frac xK\right)-h,který je možno považovat za model populace v lokalitě s omezenou nosnou kapacitou a která je vystavena lovu konstantní intenzity. +more Integrální křivky jsou rostoucí nebo klesající funkce. Části s různou monotonií jsou odděleny konstantními stacionárními řešeními. Červeně je vyznačeno nestabilní a modře stabilní stacionární řešení.

Dvourozměrný autonomní systém

Fázový portrét konkurence dvou populací. Barevně jsou vyznačeny nulkliny.

Dvourozměrný autonomní systém je systém \begin{aligned} \frac{\mathrm dx_1}{\mathrm dt}&= f_1(x_1,x_2),\\ \frac{\mathrm dx_2}{\mathrm dt}&= f_2(x_1,x_2). \end{aligned} Při kvalitativní analýze jeho chování se sledují konstantní řešení (též stacionární body, dvojice (x_1,x_2) pro které jsou obě pravé strany nulové), nulkliny (křivky v rovině pro které je jedna z pravých stran nulová), směrové pole (vektorové pole (f_1,f_2)) a trajektorie řešení (křivky dané parametricky funkcemi, které jsou řešením zadaného systému). +more Důležitou informací o chování řešení soustavy nese chování trajektorií v okolí stacionárních bodů. Proto rozlišujeme několik typů stacionárních bodů (stabilní uzel, nestabilní uzel, stabilní ohnisko, nestabilní ohnisko, sedlo, střed, bod rotace) a pro zadaný stacionární bod je možné identifikovat jeho typ pomocí vlastních čísel Jacobiho matice.

Příklad. Dvourozměrné autonomní systémy jsou například modely vzájemného působení dvou populací. +more Na obrázku je konkurence dvou populací. Tvar funkcí je vepsán v obrázku. Nukliny neležící na osách jsou dvě přímky, jejichž rovnice dostaneme z pravých stran z výrazů uvnitř závorek. V průsečíku nulklin je stacionární bod. V tomto případě se jedná o stabilní uzel. Vektorové pole je zakresleno kvůli přehlednosti šipkami jednotné délky a délka vektoru definovaného pravou stranou autonomního systému je zvýrazněna barvou.

Dvourozměrný lineární autonomní systém

Dvourozměrný lineární autonomní systém se dvěma zápornými vlastními hodnotami.

Dvourozměrný lineární autonomní systém je systém \begin{aligned} \frac{\mathrm dx_1}{\mathrm dt}&= a_{11}x_1+a_{12}x_2+b_1\\ \frac{\mathrm dx_2}{\mathrm dt}&= a_{21}x_1+a_{22}x_2+b_2 \end{aligned} nebo v maticovém tvaru \frac{\mathrm dX}{\mathrm dt}=AX+B, kde A je 2\times 2 matice, B je dvourozměrný sloupcový vektor a X je dvourozměrná vektorová funkce. Má-li matice A nenulový determinant, má systém jediné konstantní řešení, které je řešením soustavy lineárních rovnic AX+B=0. +more Posunutím počátku souřadnic je možno dosáhnout toho, že b_1=b_2=0 a proto se často bez újmy na obecnosti lineární systém uvádí ve zjednodušeném tvaru \frac{\mathrm dX}{\mathrm dt}=AX. Řešení je možno napsat explicitně nalezením vlastních čísel a vlastních vektorů matice A. Jsou-li například \lambda_1 a \lambda_2 různá reálná vlastní čísla a \vec u_1 a \vec u_2 k nim příslušné vlastní vektory a X_0 stacionární bod, jsou všechna řešení ve tvaru X(t)=X_0+C_1\vec u_1\mathrm{e}^{\lambda_1 t} + C_2\vec u_2\mathrm{e}^{\lambda_2 t}, kde C_1 a C_2 jsou reálná čísla.

Příklad. Na připojeném obrázku je fázový portrét lineárního autonomního systému se dvěma zápornými vlastními hodnotami. +more Nulklinami jsou přímky, v průsečíku přímek je stacionární bod, šipky vektorového pole jsou tečné k trajektoriím a trajektorie směřují do stacionárního bodu, který je v tomto případě stabilní uzel. Sčítanec s více záporným vlastním číslem s rostoucím časem rychleji konverguje k nule a proto se trajektorie blíží se směru druhého vlastního vektoru.

Příklad. Diferenciální rovnice pro tlumené kmity tělesa na pružině v gravitačním poli ve tvaru m\ddot{x}+b\dot x+kx=F se dá zapsat jako lineární autonomní systém \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\begin{pmatrix} x\\ v\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&1\\ -\frac km&-\frac bm \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\v \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\\frac {F}m \end{pmatrix}. +more Tím je diferenciální rovnice druhého řádu redukována na lineární autonomní systém, se kterým se lépe pracuje například při numerickém řešení.

Vícedimenzionální autonomní systém

V případě vícerozměrného autonomního systému platí mnoho věcí stejně jako u dvourozměrného, trajektorie však již nejsou křivky v rovině a proto se některé techniky nebo tvrzení omezují pouze na rovinné autonomní systémy. Příkladem trojrozměrného autonomního systému je model SIR pro modelování šíření epidemie v populaci. +more Příkladem čtyřrozměrného autonomního systému je model SEIR pro modelování šíření epidemie s inkubační dobou.

Reference

Kategorie:Diferenciální počet Kategorie:Diferenciální rovnice Kategorie:Obyčejné diferenciální rovnice