Laplaceova transformace

Technology

12 hours ago

Author

Laplaceova transformace v matematice označuje jednu ze základních integrálních transformací. Používá se k řešení některých obyčejných diferenciálních rovnic, zejména těch, jež se objevují při analýze chování elektrických obvodů, harmonických oscilátorů a optických zařízení. V technice se s ní setkáme při studiu vlastností systémů spojitě pracujících v čase, kde je protějškem Z-transformace pro diskrétní systémy.

Užitečnost Laplaceovy transformace spočívá v tom, že převádí funkce reálné proměnné na funkce komplexní proměnné způsobem, při němž se mnohé složité vztahy mezi původními funkcemi radikálně zjednoduší.

Laplaceovu transformaci odvodil roku 1812 francouzský matematik Pierre-Simon de Laplace. Již dříve (1737) však tuto transformaci použil Leonhard Euler při řešení jistých obyčejných diferenciálních rovnic.

Definice

Laplaceova transformace

Nechť je funkce f(t) spojitá (nebo alespoň po částech spojitá) a definovaná na intervalu L\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\, dt

kde s je komplexní nezávisle proměnná. Obraz funkce f(t) při Laplaceově transformaci je funkce jedné komplexní proměnné s, často ji značíme F(s). +more Definičním oborem F je oblast konvergence integrálu (viz #Oblast konvergence|níže).

Funkci f(t) nazýváme originálem a funkci F(s) obrazem funkce f(t).

Inverzní Laplaceova transformace

Inverzní Laplaceova transformace je dána vztahem:

L^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(s)e^{st}\, ds=\frac{1}{2\pi i}\int_{\{c+iu;\,u\in\mathbb{R}\}} F(s)e^{st}\, ds ,

kde c je libovolné reálné číslo ležící v oblasti konvergence F (pak celá přímka Re(s)=c, přes niž se integruje, leží v oblasti konvergence (viz #Oblast konvergence|níže)).

Vlastnosti Laplaceovy transformace

Existence

I v případě, že funkce f(t) je na celém intervalu f(t) splňovat kritérium konvergence \lim_{t \to \infty} |f(t)| e^{-st}=0.

Například funkce f(t)=e^{t^2} tuto podmínku nesplňuje, a proto její obraz neexistuje.

Oblast konvergence

Pro danou funkci f se množina hodnot s, pro něž integrál v Laplaceově transformaci konverguje, nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže integrál konverguje pro f v bodě s0, pak konverguje v každém bodě s, pro který Re(s) > Re(s0). +more Oblast konvergence Laplaceovy transformace je tedy {s; Re(s) > R}, kde R je dáno chováním funkce f(t) pro t → ∞.

Vztah k inverzní Laplaceově transformaci

Pro každou funkci f takovou, že L{f} existuje, platí pro skoro všechna t (Lerchova věta):

f(t)=L^{-1}\{L\{f(t)\}\}\,

Vztah k derivaci

Výhodou použití Laplaceovy transformace pro počítání diferenciálních rovnic je její vztah k derivaci:

L\{f^{(n)}\} = s^nL\{f\} - s^{n-1}f(0_+) - ... - sf^{(n-2)}(0_+) - f^{(n-1)}(0_+)\,

Vzorec lze odvodit pomocí integrace per partes a platí právě tehdy, když jednotlivé derivace existují. Tento vztah umožňuje přímé začlenění počátečních podmínek do výpočtu řešení diferenciální rovnice.

Základní vlastnosti Laplaceovy transformace

Pro dané funkce f(t) a g(t), a jejich příslušné Laplaceovy transformace F(s) a G(s) následující tabulka shrnuje vlastnosti Laplaceovy transformace:

Linearita \| a f(t) + b g(t) \ \| a F(s) + b G(s) \ \| Obrazem lineární kombinace vzorů je lineární kombinace obrazů s týmiž koeficienty. Odvodit lze na základě definičního vztahu. +more Této vlastnosti se využívá při odvozování goniometrických a hyperbolických funkcí.
Derivování podle parametru \| t f(t) \ \| -F'(s) \
Derivování originálu \| f'(t) \ \| s F(s) - f(0_+) \ \| Získá se z integrování per partes. Odčítá se limita funkce zprava v počátku (počáteční podmínka).
Integrování originálu \| \int_0^t f(\tau)\, d\tau = u(t) * f(t) \| {1 \over s} F(s) \| u(t) je Heavisideova funkce.
Podobnost \| f(at) \ \| {1 \over a} F \left ( {s \over a} \right ) \|a>0
Tlumení \| e^{at} f(t) \ \| F(s - a) \
Konvoluce \| (f * g)(t) \ \| F(s) \cdot G(s) \
Posunutí (věta o translaci) \| f(t - a) \ \| e^{-as} F(s) \ \|Posunutí proměnné t v originále o konstantu a>0 se projeví vynásobením obrazu výrazem e^{-as} \