Heavisideova funkce

H1(x) H1/2(x) Heavisideova funkce (také jednotkový skok) je nespojitá funkce, jejíž hodnota je nulová pro zápornou hodnotu argumentu a rovna jedné pro kladnou hodnotu argumentu. Hodnota funkce pro nulový argument není podstatná a proto je různými autory definována odlišně (viz #Definice|níže).

Často se používá v teorii řízení a při zpracování signálu, kde slouží k reprezentaci jednorázové změny signálu. Pojmenována byla po anglickém učenci Oliveru Heavisideovi.

Definice

Heavisidova funkce (s parametrem p) se definuje předpisem:

:H_p(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \mbox{ pro }x 0 \end{matrix}\right.,

kde 0 ≤ p ≤ 1 je reálné číslo určující hodnotu funkce v bodě 0 (platí p = H_p(0)).

Index p je většinou volen pevně a v zápise se vynechává. Heavisidova funkce se potom značí pouze H(x).

Hodnota v nule

Parametr p z definice funkce se nejčastěji volí jako 0, 1/2 nebo 1. Pro hodnotu 1/2 svědčí symetrie výsledné funkce a fakt, že hodnota zpětné transformace Fourierova obrazu funkce v bodech nespojitosti je aritmetický průměr limit zleva a zprava. +more Důvodem jiné volby může být praktičnost při jistých způsobech použití. V mnoha případech na hodnotě v nule vůbec nezáleží, např. integrujeme-li složený výraz s touto funkcí, neboť Lebesgueova míra množiny \{0\} je nulová.

Nastavíme-li p=H(0)=1/2, můžeme definovat funkci pomocí znaménkové funkce (signum):

: H(x) = \frac{1+\sgn(x)}{2}

Pro případ, kdy p=1 nebo p=0 můžeme též chápat Heavisideovu funkci takto: H_1 = \chi_{\langle 0, \infty)} respektive H_0 = \chi_{(0, \infty)} kde \chi_M značí charakteristickou funkci množiny M.

Vlastnosti

Mezi jednotkovým skokem a Diracovou funkcí existuje vztah, který lze zapsat jako

:H(x) = \int_{-\infty}^x \delta(t)\mathrm{d}t

Derivací Heavisideovy funkce je tedy Diracova delta funkce, primitivní funkcí je tzv. náběhová funkce.

Odkazy

Související články

Charakteristická funkce * Diracovo delta * Macaulayova závorka * Náběhová funkce

Externí odkazy

MathWorld, Heaviside Step Function: [url=http://mathworld. wolfram. +morecom/HeavisideStepFunction. html]http://mathworld. wolfram. com/…[/url] * PlanetMath, Heaviside step function: [url=http://planetmath. org/encyclopedia/HeavisideFunction. html]http://planetmath. org/…[/url] * MathWorks, Heaviside: [url=http://www. mathworks. com/access/helpdesk/help/toolbox/symbolic/heaviside. html]http://www. mathworks. com/…[/url].

Kategorie:Matematická analýza Kategorie:Elementární funkce Kategorie:Teorie řízení Kategorie:Zpracování signálu