Cesko.wiki Integrální transformace
Author
Albert FloresJako integrální transformace se v matematice označují některé speciální případy lineárních integrálních operátorů, což jsou lineární zobrazení T \colon A \to B mezi dvěma prostory funkcí A,\, B, jež se dají zapsat v podobě integrálu
:(Tf)(x) = \int_\Omega K(t,x) f(t) \mathrm{d} t,
kde \Omega \subset \R^n a D \subset \R^n jsou otevřené podmnožiny, K \colon \Omega \times D \to \Complex je měřitelná funkce označovaná v tomto kontextu jako jádro transformace, f(t) je libovolná funkce z prostoru A a (Tf)(x) je její obraz, tedy funkce z prostoru B.
Příklady integrálních transformací jsou Fourierova, Laplaceova nebo vlnková transformace.
K integrální transformaci může (ale obecně nemusí) existovat inverzní transformace, převádějící obraz z prostoru B zpět na vzor z prostoru A. Pokud existuje, dá se vyjádřit rovněž jako integrální operátor, ale s odlišným (tzv. +more inverzním) jádrem K^{-1} a odlišným oborem integrace \Omega'.
Přehled některých často používaných transformací:
| Transformace | Symbol | K | \Omega | K^{-1} | \Omega' |
|---|---|---|---|---|---|
| Spojitá Fourierova transformace | \mathcal{F} | \frac{e^{-\mathrm iu\cdot t}}{(2 \pi)^{n/2}} | \mathbb{R}^n\, | \frac{e^{+\mathrm iu\cdot t}}{(2 \pi)^{n/2}} | \mathbb{R}^n\, |
| Hartleyova transformace | \mathcal{H} | \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}} | \mathbb{R}\, | \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}} | \mathbb{R}\, |
| Mellinova transformace | \mathcal{M} | t^{u-1}\, | (0, +\infty) \ | \frac{t^{-u}}{2\pi \mathrm i}\, | c + \mathrm i\mathbb{R} \ |
| Dvojstranná Laplaceova transformace | \mathcal{B} | e^{-ut}\, | \mathbb{R}\, | \frac{e^{+ut}}{2\pi \mathrm i} | c + \mathrm i\mathbb{R} |
| Laplaceova transformace | \mathcal{L} | e^{-ut}\, | (0, +\infty) \ | \frac{e^{+ut}}{2\pi \mathrm i} | c + \mathrm i\mathbb{R} |
| Weierstrassova transformace | \mathcal{W} | \frac{e^{-(u-t)^2/4}}{\sqrt{4\pi}}\, | \mathbb{R}\, | \frac{e^{+(u-t)^2/4}}{\mathrm i\sqrt{4\pi}} | c + \mathrm i\mathbb{R} |
| Abelova transformace | \frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}} \chi_{(u,\infty)}(t) | \mathbb{R}\, | \frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\. -\. +moret^2}}\chi_{(t,\infty)}(u)\frac{\rm d}{{\rm d}u} | \mathbb{R}\, | |
| Hilbertova transformace | \mathcal{H}il, \mathcal{H} | \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} | \mathbb{R}\, | \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} | \mathbb{R}\, |
| Hankelova transformace s jádrem obsahujícím \operatorname{J}_\nu(ut), Besselovu funkci prvního druhu a řádu ν | \mathcal{H}_\nu | t \operatorname{J}_\nu(ut) | (0, +\infty) \ | u \operatorname{J}_\nu(ut) | (0, +\infty) \ |
| Stieltjesova transformace | \mathcal{S} | \frac{1}{u + t} | (0, +\infty) \ |