Laminární proudění

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Laminární proudění (na obrázku dole) a turbulentní proudění (nahoře) kolem trupu ponorky Laminární proudění je takové proudění vazké kapaliny, při kterém jsou proudnice rovnoběžné a nemísí se. Částice kapaliny se pohybují vedle sebe jakoby ve vrstvách - „destičkách“ (destička = lat. lamina), které se vzájemně nepromíchávají. Odtud také laminární neboli vrstevnaté proudění. Mezi jednotlivými vrstvami se předpokládá existence vnitřního tření a platnost vztahu Newtonova zákona viskozity. Laminární proudění

Laminární proudění je tedy proudění kapaliny s vnitřním třením, které je potenciálové.

Laminární proudění lze použít jako vhodnou aproximaci proudění reálných kapalin při malých rychlostech.

Ustálené proudění v úzké trubici

Proudění vazké kapaliny v úzké trubici lze při nízkých rychlostech považovat za laminární.

Rychlostní profil

Schéma k výpočtu rychlosti laminárního proudění Uvažujme v trubici o poloměru r malý válec kapaliny o poloměru x a délce \Delta l. +more Na vstupní průřez tohoto válce působí tlak p_1 a na výstupní průřez tlak p_2. Tlakový rozdíl na délce \Delta l má hodnotu \Delta p=p_1-p_2. Tlaková síla, která na válec působí ve směru toku, je :F = \pi x^2\Delta p Tato síla odpovídá odporu kapaliny proti proudění. Tento odpor je způsoben vnitřním tření mezi pláštěm válce a kapalinou, která jej obklopuje, přičemž jej lze vyjádřit jako :F_t = 2\pi x\Delta l\tau, kde \tau je tečné napětí.

Při ustáleném proudění musí být F a F_t v rovnováze. Z předchozích vztahů tedy dostaneme :\pi x^2\Delta p = -2\pi x\Delta l\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} Odtud po úpravě a integraci dostaneme pro rychlostní profil (tedy rozložení rychlostí v trubici) výraz :v = -\frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}x^2 + k, kde k je integrační konstanta, kterou určíme z podmínky, že na vnitřní straně trubice je rychlost nulová, tzn. +more v=0 pro x=r. Po dosazení úpravě dostaneme :v = \frac{1}{4\eta}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}l}(r^2-x^2).

Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti v na x (tedy na vzdálenosti od středu trubice) parabolická.

Hagen-Poiseuilleův zákon

Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat objemový tok Q_v. Rychlost v je v určité vzdálenosti x od osy trubice konstantní. +more Plochou mezikruží ve vzdálenosti x a šířce \mathrm{d}x proteče za časovou jednotku kapalina o objemu :\mathrm{d}Q_v = 2\pi xv\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}(r^2-x^2)x\mathrm{d}x Integrací přes celý průřez trubice dostaneme :Q_v = \frac{\pi r^4}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l} Tento vztah je matematickým vyjádřením tzv. Hagen-Poiseuilleova zákona, který zní:.

:Objemový tok viskózní tekutiny při laminárním proudění trubicí kruhového průřezu je přímo úměrný tlakovému spádu \frac{\Delta p}{\Delta l} a čtvrté mocnině poloměru trubice a je nepřímo úměrný dynamické viskozitě \eta.

Maximální a průměrná rychlost proudění

Maximální rychlost, kterou se tekutina při laminárním proudění trubicí pohybuje má hodnotu :v_\mbox{max} = \frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2 a nachází se na ose trubice (x=0).

Průměrnou rychlost, kterou kapalina protéká trubicí při laminárním proudění můžeme určit jako podíl objemového toku a celkového průřezu trubice (S=\pi r^2), tzn. :v_s = \frac{Q_v}{S} = \frac{1}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2 = \frac{1}{2}v_\mbox{max}

Vlastnosti

Laminární proudění je vírové, neboť část kapaliny, která se nachází mezi dvěma vrstvami s různými rychlostmi má tendenci se otáčet. Vírová vlákna mají tvar soustředných kružnic, jejichž středy leží na ose trubice.

O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro potenciálové proudění po libovolné uzavřené dráze. Zvolme dva body A, B na ose trubice ve vzdálenosti s a dva body C, D na okraji trubice ve stejné vzdálenosti, a to tak, že D se nachází na stejném řezu trubicí jako A a bod C se nachází na stejném řezu jako B. +more Vzhledem k tomu, že rychlost na okraji trubice je nulová a mezi body A,D a B,C je vektor rychlosti kolmý na dráhu, dostaneme :\oint v\mathrm{d}s = \int_A^B v\mathrm{d}s = v_\mbox{max}s Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že \operatorname{rot}v je různé od nuly. Jednotlivé částice kapaliny mají tedy snahu se otáčet, a proto je proudění vířivé.

Tlakový spád \frac{\Delta p}{\Delta l} je mírou odporu kapaliny proti proudění, tzn. :F\sim\frac{\Delta p}{\Delta l}\sim v_s

Při malé rychlosti proudění kapaliny se víry nemohou výrazně rozvinout a proudění probíhá tak, jako by se skládalo z nekonečně tenkých vírových vláken ve tvaru koncentrických kružnic. Při zvýšení rychlosti proudění však víry začnou proudění ovlivňovat výrazně a laminární proudění přejde v proudění turbulentní.

Jako kritérium pro odlišení laminárního proudění od proudění turbulentního lze použít Reynoldsovo číslo.