Cesko.wiki Metoda anihilátorů
Author
Albert FloresMetoda anihilátorů je postup používaný v matematice pro hledání partikulárního řešení určitých typů nehomogenních obyčejných diferenciálních rovnic. Podobá se metodě neurčitých koeficientů, ale na rozdíl od ní není třeba partikulární řešení hádat, ale pro jisté tvary pravé strany je lze přímo určit. V metodě anihilátorů se termín neurčité koeficienty používá pro označení kroku, ve kterém se počítají koeficienty.
Postup při metodě anihilátorů je následující: Rovnici zapíšeme jako použití diferenciálního operátoru P(D) na závislou proměnnou y: P(D)y=f(x), a hledáme jiný diferenciální operátor A(D) takový, že A(D)f(x) = 0. Tento operátor se nazývá anihilátor a podle něj se jmenuje celá metoda. +more Použitím A(D) na obě strany obyčejné diferenciální rovnice vznikne homogenní obyčejná diferenciální rovnice \big(A(D)P(D)\big)y = 0, pro kterou hledáme bázi řešení \{y_1,\ldots,y_n\} jako pro původní rovnici. Původní nehomogenní obyčejná diferenciální rovnice se použije pro získání soustavy rovnic omezující koeficienty lineární kombinace tak, aby vyhovovaly obyčejné diferenciální rovnici.
Tato metoda není tak obecná jako metoda variace konstant, protože anihilátor nemusí vždy existovat.
Tvary anihilátoru
| f(x) | Tvar anihilátoru |
|---|---|
| a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \. | D^{n+1} \. +more |
| e^{k x}\. | D-k\. |
| x^n. e^{k x}\. | (D-k)^{n+1}\. |
| \cos(b x) \;\;\mathrm{nebo}\;\;\sin(b x) \. | D^2+b^2 \. |
| x^n \cos(b x) \;\;\mathrm{nebo}\;\;x^n \sin(b x) \. | (D^2+b^2)^{n+1} \. |
| e^{a x} \cos(b x) \;\;\mathrm{nebo}\;\;e^{a x} \sin(b x) \. | (D-a)^2+b^2 = D^2 + 2 a D + a^2 + b^2\. |
| x^n e^{a x} \cos(b x) \;\;\mathrm{nebo}\;\;x^n e^{a x} \sin(b x) \. | \left[ (D-a)^2+b^2 \right] ^ {n+1} = \left[ D^2 + 2 a D + a^2 + b^2\right] ^ {n+1} \. |
| a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 + b_1 e^{\pm c_1 x} + \cdots + b_k e^{\mp c_k x}\. | D^{n+1}(D \mp c_1). \cdots . (D \pm c_k) \. |
Pokud je f(x) tvořena součtem výrazů uvedených v tabulce, je anihilátor součinem odpovídajících tvarů anihilátorů.
Příklad
Řešíme rovnici y-4y'+5y=\sin(kx); diferenciální operátor P(D)=D^2-4D+5. Nejjednodušší anihilátor výrazu \sin(kx) je A(D)=D^2+k^2. +more Kořeny A(z)P(z) jsou \{2+i,2-i,ik,-ik\}, takže báze řešení A(D)P(D) je \{y_1,y_2,y_3,y_4\}=\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x},e^{ikx},e^{-ikx}\}.
Položením y=c_1y_1+c_2y_2+c_3y_3+c_4y_4 dostaneme
: \begin{align} \sin(kx) & = P(D)y \\[8pt] & = P(D)(c_1y_1+c_2y_2+c_3y_3+c_4y_4) \\[8pt] & =c_1P(D)y_1+c_2P(D)y_2+c_3P(D)y_3+c_4P(D)y_4 \\[8pt] & =0+0+c_3(-k^2-4ik+5)y_3+c_4(-k^2+4ik+5)y_4 \\[8pt] & =c_3(-k^2-4ik+5)(\cos(kx)+i\sin(kx)) +c_4(-k^2+4ik+5)(\cos(kx)-i\sin(kx)) \end{align}
což dává soustavu rovnic
:i=(k^2+4ik-5)c_3+(-k^2+4ik+5)c_4 :0=(k^2+4ik-5)c_3+(k^2-4ik-5)c_4
která má řešení
:c_3=\frac i{2(k^2+4ik-5)}, c_4=\frac i{2(-k^2+4ik+5)}
takže množina řešení
: \begin{align} y & = c_1y_1+c_2y_2+\frac i{2(k^2+4ik-5)}y_3+\frac i{2(-k^2+4ik+5)}y_4 \\[8pt] & =c_1y_1+c_2y_2+\frac{4k\cos(kx)-(k^2-5)\sin(kx)}{(k^2+4ik-5)(k^2-4ik-5)} \\[8pt] & =c_1y_1+c_2y_2+\frac{4k\cos(kx)+(5-k^2)\sin(kx)}{k^4+6k^2+25}. \end{align}
Toto řešení můžeme rozložit na homogenní a nehomogenní složku. Konkrétně y_p = \frac{4k\cos(kx)+(5-k^2)\sin(kx)}{k^4+6k^2+25} je partikulární integrál pro nehomogenní diferenciální rovnici a y_c = c_1y_1 + c_2y_2 je komplementární řešení odpovídající homogenní rovnici. +more Hodnoty c_1 a c_2 jsou obvykle určeny množinou počátečních podmínek. Protože se jedná o rovnici druhého řádu, pro určení těchto hodnot potřebujeme dvě takové podmínky.
Fundamentální řešení y_1 = e^{(2+i)x} a y_2 = e^{(2-i)x} můžeme dále přepsat pomocí Eulerova vzorce:
: e^{(2+i)x} = e^{2x} e^{ix} = e^{2x} (\cos x + i \sin x)
: e^{(2-i)x} = e^{2x} e^{-ix} = e^{2x} (\cos x - i \sin x)
Pak c_1 y_1 + c_2 y_2 = c_1e^{2x} (\cos x + i \sin x) + c_2 e^{2x} (\cos x - i \sin x) = (c_1 + c_2) e^{2x} \cos x + i(c_1 - c_2) e^{2x} \sin x a vhodná úprava konstant dává jednodušší a srozumitelnější tvar komplementárního řešení, y_c = e^{2x} (c_1 \cos x + c_2 \sin x).