Metoda řetězových zlomků

Metoda řetězových zlomků je numerický algoritmus navržený k řešení integrálních rovnic teorie rozptylu jako jsou Lippmann-Schwingerova rovnice nebo Faddeevovy rovnice. Byla vyvinuta Jiřím Horáčkem a T. Sasakawou na Tohoku University v Sendai v Japonsku v roce 1983. Metoda řeší integrální rovnici tvaru : |\psi\rangle = |\phi\rangle + G_0 V|\psi\rangle pomocí iterací, přičemž konstruuje řetězový zlomek pro T-matici : T= \langle \phi |V |\psi\rangle . Metoda existuje ve dvou variantách. V první z nich (označené zkratkou MCFV) konstruujeme aproximace operátoru potenciální energie V ve formě separabilní funkce ranku 1, 2, 3 ... Ve druhé variantě (metoda MCFG) konstruujeme separabilní aproximace Greenova operátoru. Aproximace jsou konstruovány pomocí vektorů z Krylovova prostoru |\phi\rangle, G_0 V|\phi\rangle, (G_0 V)^2|\phi\rangle,.... Tyto metody lze rovněž chápat jako resumaci (obecně divergentní) Bornovy řady pomocí Padého aproximantů. Metoda MCFV je rovněž úzce svázána se Schwingerovým variačním principem. Z numerického hlediska metoda vyžaduje stejnou výpočetní náročnost jako konstrukce členů Bornovy řady, ale mnohem rychleji konverguje.

Algoritmus MCFV

Prvním krokem odvození metody je zavedení separabilní aproximace potenciálu : V = \frac{V|\phi\rangle\langle\phi|V}{\langle\phi|V|\phi\rangle} + V_1 . Integrální rovnice se separabilním potenciálem se dá snadno vyřešit. +more Řešení původního problému pak lze vyjádřit jako : |\psi\rangle = |\phi\rangle + T |\psi_1\rangle, \qquad T = \frac{\langle\phi|V|\phi\rangle^2}{\langle\phi|V|\phi\rangle-\langle\phi|V|\psi_1\rangle}, pomocí funkce |\psi_1\rangle, která řeší modifikovanou Lippmann-Schwingerovu rovnici : |\psi_1\rangle = |\phi_1\rangle + G_0 V_1|\psi_1\rangle , kde |\phi_1\rangle = G_0 V|\phi\rangle . Zbytkový potenciál V_1 je průhledný pro přicházející vlny : V_1|\phi\rangle = \langle\phi|V_1 =0 , tj. jde o slabší operátor, než původní potenciál. Nová rovnice pro |\psi_1\rangle má stejný tvar jako původní rovnice a můžeme ji dále řešit stejnou úpravou. To vede na rekurentní relace : V_i = V_{i-1}-\frac{V_{i-1}|\phi_{i-1}\rangle\langle\phi_{i-1}|V_{i-1}}{\langle\phi_{i-1}|V_{i-1}|\phi_{i-1}\rangle} : |\phi_i\rangle = G_0 V_{i-1}|\phi_{i-1}\rangle . Dá se ukázat, že T-matici pro původní problém můžeme vyjádřit ve formě řetězového zlomku : T = \cfrac{\beta_0^2}{\beta_0-\gamma_1 - \cfrac{\beta_1^2}{\beta_1 - \gamma_2 - \cfrac{\beta_2^2}{\beta_2 - \gamma_3 - \ddots }}}, kde jsme zavedli : \beta_i = \langle\phi_{i-1}|V_{i-1}|\phi_{i-1}\rangle , \qquad \gamma_i = \langle\phi_{i-1}|V_{i-1}|\phi_{i}\rangle. Při praktických výpočtech nahradíme nekonečný řetězový zlomek konečným tak, že položíme : \beta_N = \beta_{N+1}=\dots=0 , \qquad \gamma_N = \gamma_{N+1}=\dots=0. To je ekvivalentní předpokladu, že zbytkové řešení : |\psi_N\rangle = |\phi_N\rangle + G_0 V_N|\psi_N\rangle , je zanedbatelné. To je rozumný předpoklad, neboť zbytkový potenciál V_N má všechny vektory |\phi_i\rangle, i=0,1,. ,N-1 ve svém nulovém prostoru. Dá se ukázat, že potenciál konverguje k nule a řetězový zlomek konverguje k přesné T-matici.

Algoritmus MCFG

Druhá varianta algoritmu vychází z konstrukce aproximací Greenova operátoru : G_{i+1} = G_{i}-\frac

\phi_{i+1}\rangle\langle\phi_{i+1}

{\langle\phi_{i}|V|\phi_{i+1}\rangle}, tentokrát pomocí vektorů : |\phi_{i+1}\rangle=G_iV|\phi_{i}\rangle. Vyjádření T-matice řetězovým zlomkem zůstává v platnosti, ale s trochu modifikovanou definicí koeficientů \beta_i, \gamma_i.

Vlastnosti a vztah k jiným metodám

Ukazuje se, že výrazy pro T-matici, vycházející z obou metod dávají určitou třídu variačních principů, což zdůvodňuje rychlou konvergenci. Ve speciálním případě první iterace metodu MCFV dostaneme stejný výsledek jako ze Schwingerova variačního principu s použitím testovací funkce |\psi\rangle = |\phi\rangle. +more V případě metody MCFV reprodukují vyšší iterace s N členy řetězového zlomku 2N členů Bornovy řady. Pro metodu MCFG je to dokonce 2N+1 členů. Dále se dá ukázat, že obě metody dají přesné řešení Lippmann-Schwingerovy rovnice pokud je potenciál operátor konečného ranku. Počet iterací je pak roven ranku potenciálu. Metoda řetězových zlomků byla úspěšně používána v jaderné a molekulové fyzice.

Reference

Kategorie:Kvantová fyzika Kategorie:Fyzika částic