Cesko.wiki Osmnáctiúhelník
Author
Albert FloresPravidelný osmnáctiúhelník a jeho úhly Osmnáctiúhleník, cizím slovem octadecagon či octakaidecagon (z řec. δεκαοχτώ, dekaochtó - osmnáct, a γωνία, gonia - úhel), je mnohoúhelník s osmnácti stranami a vrcholy.
Popis pravidelného osmnáctiúhelníku
Součet středových úhlů pravidelného osmanáctiúhleníku je 360°, jeden středový úhel je tedy \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ, což je i hodnota každého vnějšího úhlu.
Jeden vnitřní úhel je 180^\circ-20^\circ, součet všech vnitřních úhlů je tedy 160^\circ\cdot18 = 2880^\circ.
Je-li α délka strany, pak:
* obvod: P = 18\,a * obsah: A = \frac{18}{4} \,a^2 \cot\left(\frac{\pi}{18}\right)Pravidelný osmnáctiúhelník se všemi možnými spojnicemi vrcholů
* minimální poloměr: H = \frac{2\,A}{P} = \frac{a}{2} \cot\left(\frac{\pi}{18}\right) * maximální poloměr: R=\frac H{\cos\left(\frac{\pi}{18}\right)}=\frac a{2\sin\left(\frac{\pi}{18}\right)}
Rýsování
Rýsování pravidelného osmnáctiúhelníku Pravidelný osmnáctiúhelník nelze narýsovat pouze za pomoci pravítka a kružítka, neboť aby bylo možno daný pravidelný mnohoúhelník narýsovat, musí být všechny jeho liché dělitele být Fermatova čísla (F_{n} = 2^{2^{ \overset{n} {}}} + 1).
Osmnáct je dělitelné devíti, což je liché číslo a přitom není Fermanovo. S menší odchylkou (středový úhel se změní z 20^\circ na 19,99953^\circ, odchylka tedy 0,00047^\circ a celkově 0,00846^\circ) jej však lze zkonstruovat v 19 krocích: # Utvoříme přímku p. +more # Narýsujeme kružnici k se středem I, jež se nalézá na přímce p. # Vytvoříme kružnici l se středem v pravém průsečíku kružnice k a přímky p J = k \cap p, jejíž poloměr je shodný s průměrem kružnice k. # Vytvoříme kružnici m se středem v levém průsečíku kružnice k a přímky p K = k \cap p, jejíž poloměr je shodný s průměrem kružnice k. # Narýsujeme přímku q, jež protíná průsečíky kružnic l a m L = l \cap m a M = l \cap m. # Narýsujeme kružnici n, jejíž střed se nachází v průsečíku kružnice k a přímky q N = k \cap q, jejíž průměr je shodný s průměrem kružnice k. # Narýsujeme přímku r, jež protíná průsečíky kružnice k s kružnicí n O = k \cap n a P = k \cap n a je kolmá na přímku p. # Zkonstruujeme kružnici o, jejímž středem je průsečík J a jejíž průměr je totožný s průměrem kružnice k. # Narýsujeme přímku s, jež je kolmá na průsečík J. # Utvoříme kružnici p, která má střed v průsečíku N a průměr totožný s poloměrem kružnice k. # Sestrojíme kružnici q, jejíž střed leží v průsečíku kružnice o a přímky s R = o \cap s a jejíž průměr je stejný jako poloměr kružnice k. # Narýsujeme přímku t, jež je kolmá na přímku q v horním průsečíku kružnice p a přímky q S = p \cap q. Zároveň ji lze popsat jako přímku, jež protíná průsečík S a horní průsečík přímky s a kružnice p. # Narýsujeme přímku u, která protíná bod I a průsečík kružnice n a přímky s T = n \cap s . # Sestrojíme kružnici r, která má střed v průsečíku J a prochází průsečíkem přímky u a kružnice k U = s \cap k. # Vytvoříme přímku v, která prochází oběma průsečíky kružnice r s kružnicí k a je tak kolmá na přímku p. # Zkonstruujeme přímku w, která prochází bodem I a průsečíkem přímky r a v V = r \cap v. # Narýsujeme přímku x, která prochází průsečíkem J a průsečíkem přímky w a t W = w \cap t. # Sestrojíme přímku y, jež prochází bodem I a průsečíkem přímek r a x X = r \cap x. # Přímky p a y svírají úhel α. Vezmeme do kružítka vzdálenost mezi jejich průsečíky s kružnicí k Y = p \cap k a Z = y \cap k a po obvodu kružnice k si uděláme značky, jež následně spojíme.
Při tomto rýsování vytvoříme množství kružnic, průsečíků a přímek. Zde je jejich přehled:
* Kružnice: k, l, m, n, o, p, q, r * Průsečíky a body: I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, Y, Z * Přímky: p, q, r, s, t, u, v, w, x, y
Important
Zajímavosti
Trojúhelník RA-QA-CB
218x218bod Zajímavostí je, že pokud k sobě přitiskneme pravidelný osmnáctiúhelník Α a pravidelný devítiúhelník Β (se stejně dlouhými stranami) body AA a AB a RA a BB a spojíme úsečkou body QA a CB (vrcholu se pojmenovávají proti směru hodinových ručiček), pak vznikne pravidelný rovnostranný trojúhelník RA-QA-CB. +more Obr. 2 Součet vnějšího úhlu A a vnějšího úhlu B musí být 60° (vnitřní úhel pravidelného trojúhelníku). Vnější úhel α je 20°, vnější úhel β tedy musí být \beta = 60^\circ - 20^\circ = 40^\circ. Dává to smysl, neboť osmnáctiúhelník má dvakrát více vrcholů a stran než devítiúhelník. 218x218pixelů.
Osmnáctiúhelníková síť
S pomocí osmnáctiúhelníků, devítiúhelníků, kosočtverců a trojúhelníků v poměru 1:2:8:2 lze sestrojit vzor opakujících se geometrických útvarů. Zde se uplatní předešlý popsaný jev. +more Obr. 3.
Osmnáctiúhelník vyplněný kosočtverci
Pravidelný osmnáctiúhelník lze několika způsoby vyplnit různě velkými kosočtverci, které však obvykle mají stejnou délku strany a často jich je 36, od každého druhu devět.