Otočení

Technology

12 hours ago

Author

Geometrické otočení.

V geometrii představuje otočení neboli rotace v eukleidovské rovině geometrické zobrazení, které je charakterizováno tím, že spojnice všech bodů s pevně zvoleným bodem, tzn. středem otočení, se změní o stejný úhel a vzdálenost bodů od středu otáčení zůstává nezměněna.

Otočení v rovině kolem středu S o (orientovaný) úhel \alpha je tedy takové shodné zobrazení, při kterém je obrazem bodu A\neq S bod A^\prime, pro který platí |SA| = |SA^\prime| a velikost úhlu \angle ASA^\prime je \alpha. Obrazem středu otočení S je opět bod S.

Podobně se dá definovat rotace v třírozměrném prostoru jako otočení kolem jisté osy o pevný úhel. Tvar a velikost jednotlivých geometrických útvarů se při otočení nemění. +more Při otočení se také nemění dimenze otáčeného geometrického útvaru.

Otočení se řadí mezi shodná zobrazení.

Matice rotace

Rotace v dvourozměrné Eukleidově rovině kolem počátku souřadnic o úhel \alpha je dána vztahy :x^\prime = x \cos \alpha - y \sin \alpha :y^\prime = x \sin \alpha + y \cos \alpha. Čárkované souřadnice x', y' jsou souřadnice otočeného bodu, který měl před otočením souřadnice x, y. +more Podobně rotace v třírozměrném Eukleidově prostoru o úhel \alpha kolem osy z je dáno vztahem :x^\prime = x \cos \alpha - y \sin \alpha :y^\prime = x \sin \alpha + y \cos \alpha :z^\prime = z.

Obecná rotace v prostoru se dá zapsat ve vektorovém tvaru \mathbf{x'}=A\mathbf{x} kde A je ortogonální matice.

Matice rotace kolem osy \mathbf{n}=(n_1, n_2,n_3)^T, kde n_1^2+n_2^2+n_3^2=1, o úhel \alpha je :\begin{array}{rl}A &= \begin{pmatrix} \cos \alpha +n_1^2 (1-\cos \alpha)&n_1 n_2(1-\cos \alpha) -n_3\sin \alpha &n_1 n_3(1-\cos \alpha) +n_2\sin \alpha \\ n_1 n_2(1-\cos \alpha) +n_3\sin \alpha & \cos \alpha +n_2^2 (1-\cos \alpha) & n_2 n_3(1-\cos \alpha) -n_1\sin \alpha \\ n_1 n_3(1-\cos \alpha) -n_2 \sin \alpha & n_2 n_3(1-\cos \alpha) +n_1\sin \alpha & \cos \alpha +n_3^2 (1-\cos \alpha)\end{pmatrix}\\\;&\;\\ &=(1-\cos\alpha)\mathbf{n}\mathbf{n}^T+\cos\alpha\,I+\sin \alpha\begin{pmatrix} 0&-n_3&n_2\\n_3&0&-n_1\\-n_2&n_1&0\end{pmatrix}, \end{array} kde I jednotkovou matici řádu tři. Množina všech takových matic tvoří speciální ortogonální grupu SO(3).

Rotace souřadnic

Někdy se předpokládá, že se objekty v prostoru nezměnily, ale otočil se "pozorovatel", což odpovídá změně souřadnic. Změna souřadnic, která je dána stejným vzorcem jako rotace v prostoru, se nazývá rotace souřadnic, anebo ortogonální transformace souřadnic. +more Pokud x_1,\ldots, x_n jsou staré souřadnice a x_1',\ldots, x_n' nové souřadnice nějakého bodu nebo vektoru které vznikly rotací, pak platí :\sum x_i^2=\sum (x_i')^2. Rotace souřadnic o úhel \varphi kolem nějaké osy je dáno stejným vzorcem jako geometrická rotace prostoru kolem stejné osy o opačný úhel.