Plnění a prázdnění nádrže

Když do nádrže či nádoby kapalina přitéká a současně z ní odtéká, mohou nastat tři případy: * nádrž se plní, pokud přítok je větší než odtok, * nádrž se prázdní, pokud přítok je menší než odtok, * hladina zůstává konstantní, pokud se přítok právě rovná odtoku, stav je ustálený (viz výtok otvorem). Přitom jak první, tak druhý stav může za určitých okolností přejít do stavu třetího - ustáleného. Pokud je přítok do nádrže roven nule a odtok je nenulový, nádrž se může pouze prázdnit, a naopak, pokud je odtok z nádrže roven nule a přítok je nenulový, nádrž se může pouze plnit.

=== Základní diferenciální rovnice ===

Do nádrže přitéká průtok Q_p [m3s−1] a odtéká průtok Q_o [m3s−1]. Za čas dt [s] tedy přiteče objem Q_pdt [m3] a odteče objem Q_odt [m3]. +more Rozdíl těchto objemů musí být roven změně objemu v nádrži za tentýž čas. Uvažujme, že nádrž má plochu hladiny S [m2] a za čas dt se hladina v nádrži změní o dh [m], čili objem kapaliny v nádrži se změní o Sdh [m3]. Musí tedy platit.

(Q_p-Q_o) dt= S dh

Obvykle nás zajímá, jak dlouho bude trvat než se nádrž naplní či vyprázdní ať již zcela, nebo z určité kóty (nebo polohy hladiny) na jinou, takže

dt={{Sdh}\over{Q_p-Q_o}}

a integrací této rovnice bude výsledný čas t [s] roven

t=t_2-t_1=\int_{h_2}^{h_1} {S \over {Q_p-Q_o}}dh.

Odtok z nádrže uvažujeme jako výtok malým otvorem, nátrubkem nebo potrubím - ve všech těchto případech jej můžeme vyjádřit stejným způsobem jako

Q_o=\mu S_o \sqrt{2gh}

kde \mu [-] je součinitel výtoku, S_o [m2] plocha výtokového otvoru (nátrubku nebo potrubí) a h [m] je výška hladiny nad těžištěm výtokového otvoru. Potom tedy bude

t=t_2-t_1=\int_{h_2}^{h_1} {S \over {Q_p-Q_o}}dh=\int_{h_2}^{h_1} {S \over {Q_p-\mu S_o \sqrt{2gh}}}dh.

Rovnice je analyticky řešitelná pouze pokud přítok Q_p=konst nebo Q_p=0 a pokud jsme schopni vyjádřit plochu hladiny v nádrži jako funkci polohy hladiny, resp. hloubky - S=f(h).

=== Prázdnění prismatické nádrže při Q_p=konst === Mějme prismatickou nádrž, jejíž plocha hladiny je S. Základní diferenciální rovnice bude (viz výše) pro prázdnění (hladina klesá, dh)

(Q_p-Q_o)dt=Sdh

Přítok do nádrže můžeme vyjádřit obdobně jako výtok z nádrže, přičemž uvažujeme totožné parametry (výtokový součinitel a plochu výtokového otvoru) - tento trik podstatně zjednoduší až vůbec umožní výpočet. Přítok tedy bude

Q_p=\mu S_o \sqrt{2gh_p}

kde h_p [m] je tlačná výška, při které by výtok otvorem byl roven přítoku do nádrže, a tedy čas, za který se změní hladina z úrovně h_1 na úroveň h_2 bude

t=t_2-t_1=\int_{h_1}^{h_2}{S \over{Q_p-Q_o}}dh =\int_{h_1}^{h_2}{S \over{\mu S_o\sqrt{2g}(\sqrt{h_p}-\sqrt h)}}dh

Protože u prismatické nádoby S=konst, lze vztah dále upravit:

t={S \over{\mu S_o \sqrt{2g}}}\int_{h_1}^{h_2}{1 \over(\sqrt{h_p}-\sqrt h)}dh.

Po substituci y=\sqrt{h_p}-\sqrt h a integraci dostáváme poměrně složitý výsledný vztah

t={S \over{\mu S_o \sqrt{2g}}}\left [\sqrt{h_1}-\sqrt{h_2}-\sqrt{h_p}\ln {{{\sqrt{h_p}-\sqrt{h_2}}\over{\sqrt{h_p}-\sqrt{h_1}}}} \right ].

=== Prázdnění prismatické nádrže při nulovém přítoku Q_p === Je-li přítok do nádrže nulový (Q_p=0), bude

Q_odt=\mu S_o \sqrt{2gh}dt=-Sdh

a po integraci tedy

t={{2S}\over{\mu S_o \sqrt{2g}}}\Bigl( \sqrt {h_1}-\sqrt{h_2}\Bigr).

Označme dobu nutnou k úplnému vyprázdnění nádrže T [s]. Při úplném vyprázdnění bude h_2=0 a tedy

T={{2S \sqrt {h_1}}\over{\mu S_o \sqrt{2g}}}.

Pokud zlomek rozšíříme \sqrt {h_1}, bude

T={{2S h_1}\over{\mu S_o \sqrt{2gh_1}}}

přičemž Sh_1 je počáteční objem kapaliny v nádrži a jmenovatel vyjadřuje ustálený výtok při hladině v úrovni h_1, Zřejmě tedy k úplnému vyprázdnění nádrže bude třeba dvojnásobný čas než je nutný, aby tentýž objem kapaliny vytekl otvorem při ustáleném stavu.

=== Výtok z nádrže pod pohyblivou hladinu === Mějme dvě prismatické nádrže (A a B) o plochách hladiny S_A [m2] a S_B [m2], propojené otvorem nebo potrubím s vhodným uzávěrem; propojení ústí do nádrže B pod hladinou kapaliny při jejím nejnižším stavu. Rozdíl hladin mezi nádrží A a nádrží B (tzv. +more spád) budiž H [m]. Otevřeme-li uzávěr, bude kapalina v nádrži A klesat, v nádrži B naopak stoupat, takže rozdíl hladin se bude měnit (zmenšovat), až dojde k vyrovnání hladin.

Propojením o průřezu S [m2] za čas dt [s] proteče objem kapaliny

Q dt=\mu S \sqrt{2gh} dt.

Při propojení otvorem lze součinitel výtoku \mu [-] brát běžnou odpovídající hodnotou, pokud je propojení provedeno potrubím, je nutno do součinitele výtoku zahrnout všechny ztráty v příslušném potrubí a součinitel výtoku tedy bude

\mu={1 \over{\sqrt{\alpha+\lambda{L \over D}+\sum \zeta}}}

kde \alpha [-] je Coriolisovo číslo, \lambda [-] součinitel ztráty třením, L [m] délka spojovacího potrubí, D [m] jeho průměr a \zeta [-] součinitel místní ztráty.

Za dobu dt se z nádrže A vyprázdní a v nádrži B naplní objem kapaliny dV=S_Adh_A=S_Bdh_B a rozdíl hladin se zmenší o dh=dh_A+dh_B. Lze tedy psát

dV=\mu S \sqrt{2gh} dt=-S_Adh_A.

z čehož

dt=-{S_A \over{\mu S \sqrt{2g}}}h^{-1/2}dh_A.

Pro integraci je nutné vyjádřit dh_A pomocí dh - protože dh_B={S_A \over S_B}dh_A, bude dh=dh_A\Bigl(1+{S_A \over S_B}\Bigr)a tedy

dh_A={S_B \over {S_A + S_B}}dh

čili lze psát

dt=-{S_A S_B \over {\mu S (S_A +S_B) \sqrt{2g}}}h^{-1/2}dh.

Pro úplné vyrovnání hladin integrujeme od 0 do T, resp. od 0 do H, takže

T={S_A S_B \over {\mu S (S_A+S_B) \sqrt{2g}}}\int_{0}^{H}h^{-1/2}dh={2S_A S_B \over{\mu S (S_A+S_B) \sqrt{2g}}}\sqrt H.

Pokud bychom chtěli dosáhnout jen určitého rozdílu hladin H_* [m], postačí upravit integrační meze; výsledek je v tomto případě

T={2S_A S_B \over{\mu S (S_A+S_B) \sqrt{2g}}}\bigl(\sqrt H -\sqrt {H_*}\bigr).

Případ výtoku pod pohyblivou hladinu je typický např. pro plnění a prázdnění plavebních komor; při plnění lze většinou uvažovat přítok z velké nádrže (s konstantní hladinou), při prázdnění naopak výtok do nádrže s konstantní hladinou - to je de facto totožné s výtokem do volna z nádrže bez přítoku (viz výše).

=== Výtok z nádrže nepravidelného tvaru při proměnném přítoku do nádrže === Řešení v tomto případě vychází ze základní diferenciální rovnice (viz výše), převedené do diferenčního schématu. Časový krok musí být přiměřeně malý, aby bylo dosaženo potřebné přesnosti řešení při rozumné výpočetní době. +more Při řešení se často využívá tzv. čáry zatopených ploch a čáry zatopených objemů, které jsou např. standardně zpracovány pro přehradní nádrže jako funkce kóty hladiny.

Typickým problémem, který se řeší tímto způsobem, je např. transformace povodňové vlny v přehradní nádrži. +more V tomto případě se ale obvykle uvažuje, spíše než výtok otvorem, přepad přes bezpečnostní přeliv, případně v součinnosti se základovými výpustmi.

Reference

Externí odkazy

[url=http://hydraulika.fsv.cvut.cz/Hydraulika/Hydraulika/Predmety/Hya/ke_stazeni/prednasky/06_vytok_otvorem.pdf]Výtok otvorem - sylabus přednášky HYA (FSv ČVUT)[/url]

Kategorie:Hydraulika