Sinc

a funkce sinc na intervalu x = −6π až 6π. Funkce Sinc (plným latinským jménem ) je upravená matematická funkce sinus (sinus vydělený svým argumentem), která se používá především v elektrotechnice při analýze signálů. Funkce sinc je Fourierovou transformací obdélníkové funkce. Funkce je důležitá nejen v matematice, například při určování některých typů limit, ale kvůli svým vlastnostem hraje důležitou roli v elektronice, především pro analogové a digitální zpracování signálu.

Funkci sinc zavedl v roce 1952 Phillip M. +more Woodward v článku („Teorie informace a inverzní pravděpodobnost v telekomunikacích“), ve kterém uvedl, že tato funkce se tak často používá při Fourierově analýze, že si zaslouží vlastní jméno.

Definice

Obvyklá definice funkce sinc v matematice pro x\in \R je:

:\mathrm{sinc}(x) = \left\{\begin{array}{ll}\dfrac{\sin(x)}{\ x}&\text{pro}\quad x\neq 0 \\ 1&\text{pro}\quad x=0\end{array}\right.

Její hodnota v nule je dodefinována limitou

:\lim_{x\longrightarrow0}\frac{\sin(x)}{\ x}=1

a funkce je i zde spojitá.

Funkce \mathrm{sinc}(x) nabývá maxima v bodě 0 a to hodnoty 1, která je dopočítána jako limita funkce v bodě 0. Minimum má v bodě \pm\frac{2,86060. +more}{2}\pi. V nekonečnu a celočíselných násobcích \pi je její hodnota 0.

Normalizovaná funkce sinc

Při digitálním zpracování signálu a v teorii informace se používá normalizovaná funkce sinc definovaná vztahem: :\operatorname{sinc}(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(\pi x)}{\pi x} & \text{pro}\quad x\ne 0 \\ \\ \quad 1, & \text{pro}\quad x=0 \end{cases}

Hodnota normalizované funkce sinc je nulová ve všech celých číslech kromě nuly.

Vlastnosti

Normalizovanou funkci sinc lze vyjádřit pomocí funkce gamma jako součin: :\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right) = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}

Taylorův rozvoj lze snadno vyjádřit použitím Taylorova rozvoje pro funkci sinus: : \frac{\sin(x)}{x} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} \mp \ldots

Odkazy

Reference

Externí odkazy

Kategorie:Matematické funkce