Symetrická diference

Symetrický_rozdíl_množin_je

Sjednocení_bez_průsečíku_množin

Soubor:Venn0111. svg|40px_~\setminus~_Soubor:Venn0001. +moresvg|40px_~=~_Soubor:Venn0110. svg'>40px V matematice se jako symetrická diference nebo symetrický rozdíl dvou množin označuje taková množina, která obsahuje všechny prvky z obou množin, které nejsou v jejich průniku. Symetrická diference množin A a B se značí jako :A\,\triangle\,B nebo :A \div B nebo :A \ominus B.

Například symetrická diference množin \{1,2,3\} a \{3,4\} je množina \{1,2,4\}. Symetrická diference množin dívek a studentů je množina všech dívek, které nejsou studentky, a všech chlapců studentů.

Potenční množina libovolné množiny s operací symetrické diference je abelovou grupou; neutrální prvek grupy je prázdná množina, a protože symetrická diference množiny se sebou samou je prázdná množina, tak každý prvek potenční množiny je svým vlastním inverzním prvkem.

Vlastnosti

Soubor:Venn_0110_0110. svg|40px_~\triangle~_Soubor:Venn_0000_1111. +moresvg|40px_~=~_Soubor:Venn_0110_1001. svg'>40px Symetrická diference je ekvivalentní se sjednocením obou rozdílů množin:.

:A\,\triangle\,B = (A \smallsetminus B) \cup (B \smallsetminus A)

a také může být vyjádřena jako sjednocení dvou množin bez jejich průniku:

:A\,\triangle\,B = (A \cup B) \smallsetminus (A \cap B)

nebo pomocí operace XOR:

:A\,\triangle\,B = \{x : (x \in A) \oplus (x \in B)\}.

Zvláště pak platí, že:

:A\triangle B\subseteq A\cup B.

Symetrická diference je komutativní a asociativní:

:A\,\triangle\,B = B\,\triangle\,A,\,

:(A\,\triangle\,B)\,\triangle\,C = A\,\triangle\,(B\,\triangle\,C).\,

Průnik je distributivní nad symetrickou diferencí: :A \cap (B\,\triangle\,C) = (A \cap B)\,\triangle\,(A \cap C),

Reference

Externí odkazy

Kategorie:Teorie množin