Cesko.wiki Tři domy a tři studně
Author
Albert FloresTři domy a tři studně je hlavolam z oboru rekreační matematiky a zároveň úloha z teorie grafů.
Neformální zadání
Jsou dány tři domy a tři studně. Lze od každého z domů vést cestičku ke každé studni, aniž by se tyto cestičky zkřížily?
Jiná znění stejného zadání
Zejména v anglicky mluvícím světě je oblíbené zadání úlohy jako problému inženýrských sítí, respektive problému vody, plynu a elektřiny: Plyn, voda a elektřina se mají zavést z plynárny, vodárny a elektrárny do tří domků tak, aby se nikde roury a kabely nekřížily.
Problém z hlediska teorie grafů
Z hlediska teorie grafů lze úlohu přeformulovat na otázku, zde je úplný bipartitní graf K_{3,3} rovinným grafem.
Řešení a varianty
Neumožňuje-li zadání nějaký trik a jedná-li se tedy o výše vyslovený problém existence rovinného nakreslení v rámci teorie grafů, je odpověď záporná (takové propojení neexistuje), neboť v rámci teorie grafů říká Kuratowského věta, že obsahuje-li graf jako podgraf právě K_{3,3}, není rovinným.
toru Pokud by zadání nevyžadovalo kreslit graf do roviny, ale na libovolnou plochu, je možné realizovat propojení bez křížení na povrchu toru (neboť K_{3,3} je toroidní graf).
V zadání s inženýrskými sítěmi lze realizovat trik, kdy se sice sítě nekříží mimo domky, ale v rámci jednoho domku jsou sítě přivedeny jen k vnějším zdem a jedna ze sítí tak může projít na své cestě do cílového domku skrz jeden z jiných domků, přičemž sítě nekříží (úloha pak ovšem neodpovídá té z teorie grafů).
Nakreslení s jediným křížením Zadání může být formulováno také jako otázka, jaký je minimální nutný počet křížení. +more V tom případě je odpověď 1, neboť stačí jediné křížení.