Array ( [0] => 15483600 [id] => 15483600 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Axiom [uri] => Axiom [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 1 [has_content] => 1 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => '''Axiom''' (z [[řečtina|řec.]] ''axióma'', to co se uznává) je tvrzení, které se předem pokládá za platné, a tudíž se nedokazuje. Podobný význam má slovo [[postulát]]. [1] => [2] => == Matematika == [3] => [[Matematika|Matematické]] [[teorie]] lze založit na soustavách axiomů (od nichž požadujeme, aby byly vnitřně bezesporné a nezávislé, tzn. aby daná skupina axiomů neobsahovala dva vzájemně si protiřečící axiomy a současně aby nebylo možné odvodit některý z axiomů z ostatních). Tuto metodu vytváření matematických teorií označujeme jako '''axiomatickou''' a takto vytvořenou teorii za [[Formální teorie|teorii formální]]. Pro prokazování tvrzení ve formálních teoriích slouží tzv. [[formální důkaz]]. Existuje několik druhů formálních důkazů lišících se systémy pravidel pro dokazování. Tyto systémy se nazývají kalkuly – nejznámější jsou [[hilbertovský kalkulus|hilbertovský]] a [[gentzenovský kalkulus]] (přičemž první z nich je považován za základní logický kalkulus celé matematiky). [4] => [5] => V širším pojetí se za axiomy považují základní předpoklady nějaké teorie, jejichž platnost je nutno ověřovat, ale toto ověřování může stát mimo hlavní zájem dané teorie. Například v [[Teorie grup|teorii grup]] je jedním z axiomů předpoklad asociativity. Asociativitu algebraické struktury je nutno ověřovat, aby bylo možné výsledky teorie grup aplikovat, ovšem neasociativní struktury jsou z hlediska této teorie nezajímavé a asociativita studovaných struktur je tak v podstatě axiomem. Takové předpoklady může být přesnější označit spíše jako definice, než axiomy, ovšem způsob budování teorie je analogický axiomatickému systému. [6] => [7] => == Motivace pro axiomatickou metodu == [8] => {{Neověřeno}}Důvodem pro používání axiomatických teorií byla vždy v historii snaha o co největší zpřesnění matematiky. Alternativou k axiomatické metodě je totiž matematika založená na [[geometrie|geometrickém]] (či jiném) názoru a [[intuice|intuici]]. V tomto pojetí jsou některá [[tvrzení (matematika)|tvrzení]] považována za natolik intuitivně zřejmá a jasná, že je není potřeba blíže zdůvodňovat. Příkladem může být tvrzení známé jako [[Bolzanova věta]], které říká, že [[spojitá funkce]], která nabývá alespoň jedné [[kladné číslo|kladné]] a jedné [[záporné číslo|záporné]] hodnoty, musí nabývat i hodnoty 0. [[Matematický důkaz|Důkaz]] v takovém pojetí pak je vlastně jen návodem, podle něhož by si každý člověk měl být schopen na základě intuitivně zřejmých pozorování zdůvodnit platnost daného tvrzení. Toto pojetí s sebou ovšem nese řadu rizik – například tvrzení, které někomu přijde intuitivně zcela zřejmé, ještě nemusí být pravdivé. [9] => [10] => Naproti tomu axiomatická metoda stanovuje, že pouze základní tvrzení nazývaná axiomy lze připustit bez důkazu. Výběr axiomů je při použití axiomatické metody jediným místem v celé matematické teorii, kde k důkazu tvrzení postačí názor a intuice. Kdokoli se rozhodne uznat výběr axiomů a odvozovacích pravidel v zkoumané teorii za správný, ten si již může být jistý platností každého tvrzení, které je z nich formálně odvozené. [11] => [12] => == Historie == [13] => Nejstarší používání axiomů v matematice se datuje do [[starověké Řecko|starověkého Řecka]]. Řecký matematik [[Eukleidés]] ve svém díle [[Základy (kniha)|Základy]] zavedl pět geometrických axiomů, pomocí nichž byl schopen logicky odvozovat všechny v té době známé geometrické pravdy. Tyto axiomy vstoupily do historie jako [[Euklidovy postuláty]]. [14] => [15] => K novému rozvoji axiomatické metody došlo až v druhé polovině [[19. století]] a na začátku [[20. století|století dvacátého]]. V této době byla axiomatizována i [[logika]] a došlo k vytvoření axiomatické [[teorie množin]], která se stala teorií zahrnující celou tehdejší matematiku. Na této změně se nejvíce podíleli [[David Hilbert]], [[Bertrand Russell]], [[Kurt Gödel]], [[Ernst Zermelo]], [[Gerhard Gentzen]], ale i mnozí další. [16] => [17] => == Druhy axiomů == [18] => V [[matematická logika|matematické logice]] se rozlišují dva druhy axiomů – axiomy logické a vlastní axiomy nějaké [[formální teorie|teorie]]. [19] => [20] => === Vlastní axiomy === [21] => Axiom [[Formální teorie|teorie]] ''T'' v [[jazyk (logika)|jazyce]] ''L'' je každá [[formule (logika)|formule]] \varphi jazyka ''L'' taková, že \varphi \in T (tj. z formálního hlediska je tedy teorie množina svých (vlastních) axiomů). Takové formuli se také někdy říká vlastní axiom ''T''. [22] => [23] => Na vlastní axiomy teorií tedy nejsou kladeny žádné jiné požadavky než to, že musí jít o správně utvořené formule. Proto axiomatické teorie mohou být v podstatě také zcela libovolné. Zvlášť poznamenejme, že [[prázdná množina]] je také teorií (dokonce pro každý jazyk) – tato teorie se nazývá prázdná teorie. [24] => [25] => === Logické axiomy === [26] => {{Viz též|Hilbertovský kalkulus}} [27] => [28] => Logické axiomy vyjadřují základní pravidla rozumového odvozování. Jsou formulovány v [[jazyk (logika)|jazyce]] bez mimologických symbolů a nevztahují se přímo k žádné konkrétní teorii. Jsou (v daném systému) pevně dány a přidávají se k vlastním axiomům každé teorie. [29] => [30] => Seznam logických axiomů se liší jak pro různé [[logický kalkulus|logické kalkuly]], tak pro tentýž kalkulus u různých autorů. Jednou z nejběžnějších definicí logických axiomů pro [[výroková logika|výrokovou logiku]] resp. [[predikátová logika|predikátovou logiku]] prvního řádu je [[hilbertovský klasický kalkulus]]. Tento kalkulus je základním logickým kalkulem používaným v celé matematice. Jinou možností jak zvolit logické axiomy je [[gentzenovský kalkulus]]. [31] => [32] => == Odkazy == [33] => [34] => === Související články === [35] => * [[Gödelovy věty o neúplnosti|Gödelova věta o neúplnosti]] [36] => * [[Zermelova–Fraenkelova teorie množin|Axiomatizace Zermelo-Fraenkelovy teorie množin]] [37] => * [[Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin|Axiomatizace Gödel-Bernaysovy teorie množin]] [38] => * [[Peanova aritmetika|Axiomatizace Peanovy aritmetiky]] [39] => * [[Matematická věta]] [40] => * [[Matematický důkaz]] [41] => [42] => === Externí odkazy === [43] => * {{Wikislovník|heslo=axiom}} [44] => {{Autoritní data}} [45] => [46] => {{Portály|Matematika}} [47] => [48] => [[Kategorie:Matematická logika]] [49] => [[Kategorie:Filozofie matematiky]] [50] => [[Kategorie:Víra]] [51] => [[Kategorie:Řecká slova a fráze]] [] => )
good wiki

Axiom

Axiom (z řec. axióma, to co se uznává) je tvrzení, které se předem pokládá za platné, a tudíž se nedokazuje.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'Formální teorie','Matematický důkaz','jazyk (logika)','gentzenovský kalkulus','starověké Řecko','Eukleidés','postulát','formální teorie','matematická logika','Ernst Zermelo','Bertrand Russell','teorie množin'

Eukleidés

Postulát