Array ( [0] => 14691115 [id] => 14691115 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Brachistochrona [uri] => Brachistochrona [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => [[Soubor:Brachistochrone.gif|náhled|Brachistochrona]] [1] => [2] => '''Brachistochrona''' (z řeckého ''brachistos'' nejkratší, ''chronos'' čas), označovaná také jako ''křivka nejkratšího spádu'', je [[křivka]] spojující dva body, po které se [[hmotný bod]] dostane z počátečního klidu v jednom bodě do druhého působením [[homogenní gravitační pole|homogenního gravitačního pole]] za nejkratší [[čas|dobu]]. [3] => [4] => Názorně si lze představit, že hledáme tvar drátu, po němž má (bez tření) klouzat kulička mezi dvěma body co nejrychleji. [5] => [6] => Pomocí poměrně složitých postupů (včetně [[:Kategorie:Variační počet|variačního počtu]]) lze dokázat, že brachistochrona je část prosté [[cykloida|cykloidy]]. Na rozdíl od klasické polohy cykloidy používané např. u mostních oblouků je však brachistochrona osově souměrná podle vodorovné osy. [7] => [8] => Toto označení zavedl [[Johann Bernoulli]] roku 1696 v časopise ''Acta Eruditorum'' a sám předložil řešení (kromě svého bratra [[Jacob Bernoulli|Jacoba]] a j.). [9] => [10] => == Úloha o brachistochroně == [11] => Úkolem je najít tvar spojnice dvou bodů ''A'' a ''B'', po které by se těleso pohybující se vlivem [[gravitační síla|gravitační síly]], dostalo z ''A'' do ''B'' v nejkratším [[čas]]e. Předpokládá se pohyb v [[tíhové pole|homogenním tíhovém poli]] a [[odporová síla|odporové síly]] se zanedbávají. Pokud by oba body ležely "pod sebou" (na stejné svislici), tak je zřejmě úloha triviální, hledanou křivkou je úsečka. [12] => [13] => [[Soubor:brachystohrona_uloha.svg|náhled|Schéma k úloze o brachistochroně]] [14] => [15] => Úlohu lze matematicky formulovat tak, že hledáme takovou hladkou rovinnou [[křivka|křivku]] spojující [[bod]]y A[0,y_A], B[x_B,0] ([[bez újmy na obecnosti]] předpokládáme y_A \geq 0 a x_B>0), po níž se [[hmotný bod]] o [[hmotnost]]i m pohybuje v tíhovém poli od bodu ''A'' do bodu ''B'' za nejkratší dobu. Volba [[kartézská soustava souřadnic|souřadnicového systému]] je zobrazena na obrázku, tíhová síla má obvyklý směr záporné poloosy ''y'', díky symetrii pohyb nastává ve svislé rovině obsahující oba body. [16] => [17] => Podle [[zákon zachování energie|zákona zachování energie]] platí [18] => [19] => : \frac{1}{2}mv^2 = m g(y_A - y). [20] => [21] => Úpravou tohoto vztahu dostaneme výraz pro [[rychlost]] (která zřejmě nezávisí na hmotnosti), [22] => : v^2 = 2g(y_A-y). [23] => [24] => Pokud předpokládáme explicitní rovnici brachistochrony [25] => [26] => : y=y(x), [27] => [28] => rychlost je možné vyjádřit také jako [29] => [30] => : v = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \sqrt{ \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2} = \sqrt{ \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2} = \sqrt{1 + {y^\prime}^2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}, [31] => [32] => kde bylo užito vztahu pro [[dráhy|dráhu]] s pohybu a faktu, že řešíme jen tu část pohybu, kdy souřadnice x roste s časem (tzn. kromě startu a popř. koncového bodu, pokud leží ve stejné výšce). [33] => [34] => Předpokládáme, že platí y pro (0,x_B), vynecháváme tudíž počáteční bod a případnou horní úvrať, pokud by koncový bod ležel stejně vysoko jako počáteční. Potom dostaneme z předchozích výrazů vztah [35] => [36] => : \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}s}{v} = \sqrt{\frac{1 + {y^\prime}^2}{2g(y_A-y)}}\mathrm{d}x [37] => [38] => Celkovou dobu potřebnou k proběhnutí podél křivky z bodu ''A'' do ''B'' lze tedy zapsat jako [39] => [40] => : T = \int_{0}^{x _B} \sqrt{\frac{1+{y^\prime}^2}{2g(y_A-y)}}\mathrm{d}x [41] => [42] => [[fyzika|Fyzikální]] problém se tedy redukuje na řešení [[variační počet|variačního problému]] minimalizace [[funkcionál]]u s integrandem ([[Lagrangeova funkce|Lagrangeovou funkcí]]) F(y,y^\prime) = \sqrt{\frac{1+{y^\prime}^2}{2g(y_A-y)}}, nezávislým (explicitně) na ''x''. [43] => [44] => V tomto případě existuje dle Beltramiho identity pro příslušnou [[Eulerova–Lagrangeova rovnice|Eulerovu–Lagrangeovu diferenciální rovnici]] [[extremála|extremály]] ''y'' [[první integrál]] ve tvaru [45] => [46] => : F - y^\prime \frac{\partial F} {\partial y^\prime} = C. [47] => [48] => Dosazením získáme [49] => [50] => : \sqrt{\frac{1+{y^\prime}^2}{2g(y_A-y)}} - y^\prime \frac{y^\prime}{\sqrt{2g(y_A-y)}}\frac{1}{\sqrt{1+{y^\prime}^2}} = C, [51] => [52] => kde C je [[konstanta]]. [53] => [54] => Úpravou posledního vztahu dostaneme [55] => [56] => : 1 = C\sqrt{2g(y_A-y)}\sqrt{1+{y^\prime}^2} [57] => [58] => a [[umocňování|umocněním]] [59] => [60] => : 1 = 2 C^2 g(y_A-y)(1+{y^\prime}^2) [61] => [62] => Protože C\neq 0, lze označit K = \frac{1}{2gC^2}, čímž získáme [63] => [64] => : \frac{K}{1+{y^\prime}^2} = y_A-y. [65] => [66] => Tuto nelineární [[diferenciální rovnice|diferenciální rovnici]] 1. řádu lze výhodně řešit parametrickou substitucí [67] => y^\prime = \operatorname{tg} \frac {\varphi}{2}, [68] => [69] => řešením dostaneme [[parametrická funkce|parametrické vyjádření]] hledané křivky ve tvaru [70] => [71] => : x(\varphi ) = \frac{K}{2}(\varphi +\sin{\varphi}) + L, [72] => : y (\varphi )= y_A - \frac{K}{2}(1- \cos{\varphi}), [73] => [74] => kde K, L jsou [[integrační konstanta|integrační konstanty]], které se určí z (okrajových) podmínek, že hledaná křivka prochází body ''A'' a ''B''. [75] => [76] => Jedná se o část prosté [[cykloida|cykloidy]], s úvratí v bodě A. [77] => [78] => == Odvození pomocí Fermatova principu == [79] => Protože se jedná o minimalizaci doby pohybu, lze úlohu o brachistochroně vyřešit také pomocí [[Fermatův princip|Fermatova principu]] z optiky, podle něhož je doba šíření světla extrémní. Celkovou dobu šíření lze vyjádřit [80] => [81] => : T=\int_{t_1}^{t_2} \rm{d}t = \int_A^B \frac {\rm{d}s} {v} = \frac {1} {c} \int_A^B n \rm{d}s, [82] => [83] => kde ''n'' je [[index lomu]] prostředí a ''c'' rychlost světla ve vakuu. [84] => [85] => Dráha minimalizující čas (extrémála funkcionálu) je dána řešením [[paprsková rovnice|paprskové rovnice]], která v nehomogenním prostředí, kde rychlost světla závisí jen na jedné souřadnici, má tvar ([[zákon lomu|zákona lomu]]) [86] => [87] => : n(y) \cdot \sin \alpha = konst, [88] => [89] => kde \alpha je odchylka paprsku od osy ''y''. Po dosazení rychlosti místo indexu lomu a za sinus (vlastně je to kosinus odchylky od osy x, vyjádřený pomocí tangens - směrnice tečny dráhy), dostáváme (značení stejné jako u původního odvození) [90] => [91] => : \frac{1} {\sqrt{2g(y_A-y)}} \frac{1}{\sqrt{1+{y^\prime}^2}} = konst, [92] => [93] => což je stejná (diferenciální) rovnice prosté cykloidy jako výše. [94] => [95] => == Geometrické odvození == [96] => Z výše uvedeného výrazu pro [[funkcionál]] doby pohybu '''''T=T(y)''''' je vidět, že z hlediska [[diferenciální geometrie]] je brachistochrona formálně [[geodetika]] plochy, kde [[vzdálenost]] je dána koeficienty [[Metrický tenzor|první základní formy]] [97] => [98] => : E(x,y) = 1, F = 0, G = \frac {1}{\sqrt y}. [99] => [100] => == Literatura == [101] => * BRDIČKA M., HLADÍK A.: ''Teoretická mechanika'', Academia, Praha 1987. [102] => * {{Citace periodika [103] => | příjmení = Brdička [104] => | jméno = Miroslav [105] => | odkaz na autora = Miroslav_Brdička [106] => | titul = Brachystochrona či brachistochrona? [107] => | periodikum = Pokroky matematiky, fyziky a astronomie [108] => | rok = 1972 [109] => | ročník = 17 [110] => | číslo = 4 [111] => | strany = 204 [112] => | url = http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/138956/PokrokyMFA_17-1972-4_8.pdf [113] => | issn = 0032-2423 [114] => }} [115] => * REKTORYS K. a kolektiv: ''Přehled užité matematiky I'', Prometheus, Praha 2003, {{ISBN|80-7196-179-5}}. [116] => * VORÁČOVÁ Š. a kolektiv: ''Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná'', Academia, Praha 2012, {{ISBN|978-80-200-1575-4}}, str. 138. [117] => [118] => == Související články == [119] => * [[Cykloida]] [120] => * [[Johann Bernoulli]] [121] => * [[Homogenní gravitační pole]] [122] => [123] => == Externí odkazy == [124] => * [http://videacesky.cz/video/vsauce-jak-vyrobit-brachistochronu Jak vyrobit brachistochronu (video)] [125] => * {{Commonscat}} [126] => [127] => {{Autoritní data}} [128] => [129] => {{Portály|Matematika}} [130] => [131] => [[Kategorie:Křivky]] [132] => [[Kategorie:Variační počet]] [] => )
good wiki

Brachistochrona

Brachistochrona Brachistochrona (z řeckého brachistos nejkratší, chronos čas), označovaná také jako křivka nejkratšího spádu, je křivka spojující dva body, po které se hmotný bod dostane z počátečního klidu v jednom bodě do druhého působením homogenního gravitačního pole za nejkratší dobu. Názorně si lze představit, že hledáme tvar drátu, po němž má (bez tření) klouzat kulička mezi dvěma body co nejrychleji.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'čas','hmotný bod','Johann Bernoulli','křivka','cykloida','funkcionál','dráhy','variační počet','bod','Lagrangeova funkce','bez újmy na obecnosti','odporová síla'

Bod

Čas

Cykloida

Drahy

Funkcionál

Křivka