Array ( [0] => 14669975 [id] => 14669975 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Dělitelnost [uri] => Dělitelnost [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => Dělitelnost je matematický pojem, který se používá k popisu vlastností čísel a jejich vzájemného vztahu. Číslo je dělitelné jiným číslem, pokud při jejich dělení nezůstává žádný zbytek. V případě, že jedno číslo je dělitelné druhým, říkáme, že první číslo je násobkem druhého. Dělitelnost je základním pojmem aritmetiky a má široké uplatnění jak v teorii čísel, tak i v různých dalších matematických disciplínách. [oai] => Dělitelnost je matematický pojem, který se používá k popisu vlastností čísel a jejich vzájemného vztahu. Číslo je dělitelné jiným číslem, pokud při jejich dělení nezůstává žádný zbytek. V případě, že jedno číslo je dělitelné druhým, říkáme, že první číslo je násobkem druhého. Dělitelnost je základním pojmem aritmetiky a má široké uplatnění jak v teorii čísel, tak i v různých dalších matematických disciplínách. [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => '''Dělitelnost''' je vlastnost dvojic [[celé číslo|celých čísel]]. Celé číslo ''p'' je '''dělitelné''' nenulovým celým číslem ''q'' (číslo ''q'' dělí ''p'') právě tehdy, když ''p'' je celočíselným násobkem ''q'', tj. jestliže existuje takové celé číslo ''k'', pro které platí, že [1] => [2] => : ''p'' = ''kq''. [3] => [4] => Tato [[Relace (matematika)|relace]] se obvykle značí q|p. Např. číslo 27 je dělitelné třemi, neboť 27 = 9 · 3. Jiná definice: ''p'' je dělitelné ''q'', jestliže [[zbytek po dělení]] p/q je nula. [5] => [6] => ==Formální definice== [7] => Pro p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z} definujeme relaci dělitelnosti jako q|p \iff \exists k \in \mathbb{Z}: p = k \cdot q. Podle konvence se někdy přidává předpoklad q \neq 0, ale obvykle není nutný. [8] => [9] => == Obecně == [10] => * Číslo ''p'' se nazývá [[dělenec]], [11] => * číslo ''q'' se nazývá [[dělitel (dělení)|dělitel]], [12] => * číslo ''k'' se nazývá [[Dělení|podílem]] čísla ''p'' při [[dělení]] číslem ''q'', (jednoznačně určen s výjimkou pro ''p=0'') [13] => * v oboru celých čísel mají čísla ''p'' a −''p'' tytéž dělitele, [14] => * čísla 1, −1, ''p'' a −''p'' se nazývají nevlastní (triviální) dělitelé čísel ''p'' a −''p'', [15] => * existují-li ještě další dělitelé, nazývají se vlastní dělitelé (netriviální), [16] => * každé celé číslo mimo nulu je dělitelem [[nula|nuly]], nula ale není dělitelem žádného celého čísla různého od nuly. [17] => [18] => == Vlastnosti dělitelnosti == [19] => Pro všechna a,b,c \in \mathbb{Z} platí: [20] => * a|a ([[Reflexivní relace|reflexivita]]) [21] => * (a|b \land b|c) \implies a|c ([[Tranzitivní relace|tranzitivita]]) [22] => * a|b \implies \forall k \in \mathbb{Z}: a|(k \cdot b) (Jestliže ''a'' dělí ''b'', tak ''a'' dělí jakýkoli násobek ''b''.) [23] => * a|b \land a|c \implies a|(b+c) (Když ''a'' dělí dvě čísla, tak ''a'' dělí i jejich součet.) [24] => [25] => == Prvočísla == [26] => [[Přirozené číslo]] větší než 1, které je dělitelné pouze číslem 1 a samo sebou, se nazývá ''[[prvočíslo]]''. Přirozené číslo větší než 1, které není prvočíslem, se nazývá ''[[složené číslo]]''. [27] => [28] => == Dělitelnost prvočíslem == [29] => Pro každé přirozené číslo ''a'' větší jedné existuje alespoň jedno prvočíslo ''p'', které dělí ''a''. Pokud navíc ''a'' je [[Složené číslo|složené]], tak p \leq \sqrt{a}. [30] => [31] => Důkaz je následovný: [32] => [33] => [[Množina]] dělitelů ''a'' bez 1 je konečná, nechť tedy ''p'' je její minimum. Pokud ''a'' je prvočíslo, tak ''a'' = ''p'', tím pádem existuje prvočíslo, které dělí ''a''. [34] => [35] => Pokud ''a'' je složené, tak ''p'' je prvočíslo. Tento fakt lze dokázat [[Důkaz sporem|sporem]]. Předpokládejme, že ''p'' není prvočíslo. Potom ''p'' = ''q'' · ''r'' (1 < ''q'' < ''p'' < ''a''). [36] => Ovšem pokud ''p'' dělí ''a'' a ''q'' dělí ''p'', tak ''q'' dělí ''a''. Avšak 1 < ''q'' < ''p'', což odporuje faktu, že ''p'' je nejmenší dělitel ''a'' větší jedné. Z toho vyplývá, že ''p'' je prvočíslo. [37] => [38] => Zbývá dokázat, že p \leq \sqrt{a}. [39] => [40] => Nechť ''a'' = ''p'' · ''k'' ( ''k'' ∈\mathbb{N}). Platí ''p'' ≤ ''k'' · ''p'' ≤ k^2, [41] => ''p'' · ''k'' = ''a'' ≤ k^2 [42] => [43] => p\leq \sqrt{a} \leq k [44] => [45] => == Prvočinitel == [46] => Prvočíslo, které dělí číslo ''p'', se nazývá ''prvočinitel''. Každé složené číslo lze napsat jako součin prvočinitelů. Tento zápis (pokud nebereme v úvahu pořadí prvočinitelů) je pro každé číslo jedinečný (viz [[faktorizace]]). [47] => [48] => Každé prvočíslo s výjimkou čísla 1 má jen 2 dělitele; sebe samo a 1. Číslo 1 má jen sebe samo a tudíž má exkluzivní postavení, není ani prvočíslem ani číslem složeným. [49] => [50] => Dvě čísla se nazývají soudělná, když mají společného dělitele většího než 1. Pokud takového dělitele nemají, pak se nazývají nesoudělná. [51] => [52] => == Kritéria dělitelnosti == [53] => Následující tabulka obsahuje kritéria dělitelnosti celých čísel v desítkové [[číselná soustava|číselné soustavě]], která umožňují snadno zjistit, je-li celé číslo dělitelné malým číslem ''q''. Pokud je kritériem dělitelnost výsledku nějakého postupu, lze na něj opět použít stejný postup. [54] => [55] => {|class="wikitable" [56] => ! ''q'' !! kritérium !! příklad [57] => |- [58] => |'''[[0 (číslo)|0]]''' || dělení nulou není v celých číslech definováno|| [59] => |- [60] => |'''[[1 (číslo)|1]]''' || všechna celá čísla jsou dělitelná 1 || 1, 6, 329 [61] => |- [62] => |'''[[2 (číslo)|2]]''' || je-li na místě jednotek sudé číslo || 12'''8''', 1 10'''2''' [63] => |- [64] => |'''[[3 (číslo)|3]]''' || je-li [[ciferný součet]] dělitelný 3 || 228 → 2+2+8 = 12 → 1+2 = 3 [65] => |- [66] => |'''[[4 (číslo)|4]]''' || je-li poslední dvojčíslí dělitelné 4 || 6'''12''', 1 1'''08''' [67] => |- [68] => |'''[[5 (číslo)|5]]''' || je-li na místě jednotek 5 nebo 0 || 3'''5''', 10 04'''0''' [69] => |- [70] => |'''6''' || je-li číslo dělitelné 2 a 3 ''(viz výše)'' || 924, 29 952 [71] => |- [72] => | rowspan="5" |'''[[7 (číslo)|7]]''' [73] => |je-li rozdíl součtu lichých a sudých trojic cifer dělitelný 7 || 2 '''022 '''048 → 002-022+048 = 28 [74] => |- [75] => |je-li sedmi dělitelný součet vypočtený tak, že se první až n-tá číslice ''odzadu'' vynásobí postupně čísly (periodicky se opakujícími): 1, 3, 2, 6, 4, 5 || 138 309 241 → 1×1+4×3+2×2+9×6+0×4+3×5+8×1+3×3+1×2=105 → 5×1+0×3+1×2=7 [76] => |- [77] => |je-li rozdíl zbývající části a poslední číslice vynásobené 2 dělitelný 7 || 1 94'''6''' → 194 − (2×'''6''') = 18'''2''' → 18 − (2×'''2''') = 14 [78] => |- [79] => |je-li součet zbývající části a poslední číslice vynásobené 5 dělitelný 7 || 1 94'''6''' → 194 + (5×'''6''') = 22'''4''' → 22 + (5×'''4''') = 42 [80] => |- [81] => |je-li po opakovaném odečítání z čísla násobků 7 končících na stejnou cifru (mohou být jakékoliv) a následném dělení čísla deseti výsledek nula (když číslo není dělitelné 7, výsledek přejde do záporných čísel) [82] => |7 436 42'''9''' − 4'''9''' = 7 436 380 / : 10
743 63'''8''' − 2'''8''' = 743 610 / : 10
74 36'''1''' − 9'''1''' = 74 270 / : 10
7 42'''7''' − '''7''' = 7 420 / : 10
74'''2''' − 4'''2''' = 700 / : 10
7'''0''' - 7'''0''' = 0 [83] => |- [84] => | rowspan="3" |'''[[8 (číslo)|8]]''' [85] => |je-li poslední trojčíslí dělitelné 8 || 12 '''504''' [86] => |- [87] => |je-li poslední dvojčíslí dělitelné 8 a na místě stovek je sudé číslo || 208, 123 '''''6''72''' [88] => |- [89] => |je-li poslední dvojčíslí zvětšené (či zmenšené) o 4 dělitelné 8 a na místě stovek je liché číslo [90] => |104, 234 '''''7''60''' [91] => |- [92] => |'''[[9 (číslo)|9]]'''|| je-li [[ciferný součet]] dělitelný 9 || 1 683 → 1+6+8+3=18 → 1+8 = 9 → OK [93] => |- [94] => |'''[[10 (číslo)|10]]'''|| je-li na místě jednotek 0 || 1 12'''0''', 2 28'''0''' [95] => |- [96] => | rowspan="3" |'''[[11 (číslo)|11]]''' [97] => |je-li rozdíl součtu číslic na sudém a lichém místě dělitelný jedenácti || 5 357 → −5 +3 −5 +7 = 0 → OK [98] => |- [99] => |je-li součet jednotlivých dvojčíslí dělitelný 11 || 5 357 → 53 + 57= 110 '''→''' OK [100] => |- [101] => |je-li rozdíl trojčíslí na sudých a lichých místech dělitelný 11 || 5 357 → −5 + 357 = 352 [102] => |- [103] => |'''[[12 (číslo)|12]]'''|| je-li číslo dělitelné 3 a 4 ''(viz výše)''|| 65 520 → 6+5+5+2+0='''18''' → dělitelné 3 → OK; 65 5'''20''' → 20/4=5 → OK [104] => |- [105] => |'''[[13 (číslo)|13]]'''|| je-li rozdíl součtů lichých a sudých trojic cifer dělitelný třinácti || 2 022046 '''→''' 2 + 46 − 22 = '''26''' → dělitelné 13 → OK [106] => |- [107] => |'''[[14 (číslo)|14]]'''|| je-li číslo dělitelné 2 a 7 ''(viz výše)''|| 868, 5 564 [108] => |- [109] => |'''[[15 (číslo)|15]]'''|| je-li číslo dělitelné 3 a 5 ''(viz výše)''|| 930, 1 170 [110] => |- [111] => | rowspan="2" |'''[[16 (číslo)|16]]''' [112] => |je-li poslední čtyřčíslí dělitelné 16 || 736, '''1 156''', 2'''1 152''' [113] => |- [114] => |je-li součet čtyřnásobku zbývající části a posledního dvojčíslí dělitelný 16 || '''11 3'''12 → (4×'''113''') + 12 = '''4'''64 → (4×'''4''') + 64 = 80 [115] => |- [116] => | rowspan="2" |'''[[17 (číslo)|17]]''' [117] => |je-li výsledek následujícího postupu dělitelný sedmnácti: střídavě se odečítají a přičítají dvojice cifer vynásobené 2 a mezivýsledky se vždy dělí dvěma. Konečný výsledek se pak vynásobí násobkem deseti tak, aby vyšlo celé číslo. || 5'''1 1'''53 → ((53−(2×11))/2 + 2×5 = 25,5 a 255 je dělitelné 17) [118] => |- [119] => |je-li rozdíl zbývající části a pětinásobku poslední číslice dělitelný 17 || 86'''7''' → 86 − (5×'''7''') = 51 je dělitelné 17 [120] => |- [121] => |'''[[18 (číslo)|18]]'''|| je-li číslo dělitelné 2 a 9 ''(viz výše)''|| 1 134, 162 [122] => |- [123] => |'''[[19 (číslo)|19]]'''|| je-li součet zbývající části a dvojnásobku poslední číslice dělitelný 19 || 10 73'''5''' → 1 073+(2×'''5''') = 1 08'''3''' → 108+(2×'''3''') =11'''4''' → 11+(2×'''4''') = 19 [124] => |- [125] => | rowspan="2" |'''[[20 (číslo)|20]]''' [126] => |je-li číslo dělitelné 4 a 5 ''(viz výše)'' || [127] => |- [128] => |je-li poslední dvojčíslí dělitelné 20 || 1 1'''80''', 5 542 2'''00''' [129] => |- [130] => | rowspan="2" |[[21 (číslo)|'''21''']] [131] => |je-li číslo dělitelné 3 a 7 (''viz výše'') [132] => | [133] => |- [134] => |je-li rozdíl zbývající části a dvojnásobku poslední číslice dělitelný 21 [135] => |27'''3''' → 27 − (2×'''3''') = 21 [136] => |- [137] => |[[22 (číslo)|'''22''']] [138] => |je-li číslo dělitelné 2 a 11 (''viz výše'') [139] => |396, 1 474 [140] => |- [141] => | rowspan="2" |'''[[23 (číslo)|23]]''' [142] => |je-li součet zbývající části a sedminásobku poslední číslice dělitelný 23 [143] => |312'''8''' → 312+(7×'''8''') = 36'''8''' → 36+(7×'''8''') = 92 [144] => |- [145] => |je-li součet zbývající části a trojnásobku posledních 2 číslice dělitelný 23 [146] => |17'''25''' → 17+(3×'''25''') = 92 [147] => |- [148] => |'''[[24 (číslo)|24]]''' [149] => |je-li číslo dělitelné 3 a 8 (''viz výše'') [150] => |456, 1 656 [151] => |- [152] => |'''[[25 (číslo)|25]]'''|| je-li poslední dvojčíslí 00 nebo dělitelné 25 – tedy 25, 50 nebo 75 || 1'''25''', 15 5'''75''' [153] => |- [154] => |'''[[30 (číslo)|30]]''' || je-li číslo dělitelné 3 a 10 ''(viz výše)'' || 4 490, 631 110 [155] => |- [156] => |'''[[40 (číslo)|40]]''' || je-li poslední trojčíslí 000 nebo dělitelné 40 || 5 '''200''', 6 '''840''' [157] => |- [158] => |'''[[50 (číslo)|50]]''' || je-li poslední dvojčíslí 00 nebo 50 || 5'''50''', 7'''00''' [159] => |- [160] => |'''[[100 (číslo)|100]]''' || je-li poslední dvojčíslí 00 || 15 5'''00''', 7'''00''' [161] => |- [162] => |'''[[1000 (číslo)|1000]]''' || je-li poslední trojčíslí 000 || 154 '''000''', 7 '''000''' [163] => |- [164] => |'''[[10 000 (číslo)|10 000]]''' || je-li poslední čtyřčíslí 0000 || 154 '''0000''', 7 '''0000''' [165] => |} [166] => [167] => === Obecné kritérium dělitelnosti === [168] => Libovolné kritérium dělitelnosti lze zapsat jako ciferný součet s vahami – číslo ''x'' je dělitelné prvočíslem ''n'' právě když Σ''k'' ''αkak'' je dělitelné ''n'', kde ''x'' = ''a''0 + 10''a''1 + 100''a''2 + 1000''a''3 + … + 10''n''''a''''n'', neboli je zapsáno v poziční soustavě se základem 10. [169] => [170] => Jednotlivé váhy v ciferném součtu jsou řešení jednoduchých [[kongruence|kongruencí]] \alpha_k \equiv 10^k\,(mod\ n). Řešení jsou tedy [[zbytek po dělení|zbytky po dělení]] 10''k''/''n''. [171] => [172] => Například číslo ''x'' je dělitelné 17 právě když ''a''0 − 7''a''1 − 2''a''2 − 3''a''3 + 4''a''4 + 6''a''5 − 8''a''6 + 5''a''7 − ''a''8 + 7''a''9 + 2''a''10 + 3''a''11 − 4''a''12 − 6''a''13 [173] => + 8''a''14 − 5''a''15 + ''a''16 + … je dělitelné 17. [174] => [175] => == Externí odkazy == [176] => * [https://stag-ws.zcu.cz/ws/services/rest2/kvalifikacniprace/downloadPraceContent?adipIdno=18675 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE DĚLITELNOST – modely dělitelnosti v různých soustavách a v gaussových oborech integrity] [177] => {{Autoritní data}} [178] => [179] => [[Kategorie:Teorie čísel]] [180] => [[Kategorie:Aritmetika]] [] => )
good wiki

Dělitelnost

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'7 (číslo)','8 (číslo)','11 (číslo)','20 (číslo)','23 (číslo)','16 (číslo)','ciferný součet','17 (číslo)','zbytek po dělení','21 (číslo)','dělenec','5 (číslo)'