Array ( [0] => 14738173 [id] => 14738173 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Diferencovatelnost [uri] => Diferencovatelnost [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => :: ''Pro porozumění tomuto článku je nutné znát pojem [[derivace]] a [[Diferenciál (matematika)|diferenciál]].'' [1] => [[Soubor:Differential.svg|náhled|Příklad diferencovatelné funkce z R do R, jejího diferenciálu v bodě a její tečny]] [2] => '''Diferencovatelnost''' je v [[matematika|matematice]] vlastnost reálných [[funkce (matematika)|funkcí]] anebo obecnějších geometrických struktur. '''Diferencovatelná funkce''' v [[bod]]ě je v [[matematická analýza|matematické analýze]] taková [[funkce (matematika)|funkce]], která má v určitém bodě [[Diferenciál (matematika)|diferenciál]]. Obdobně lze definovat diferencovatelnost na [[Interval (matematika)|intervalu]], případně na celém [[definiční obor|definičním oboru]]. [3] => [4] => == Neformální úvod == [5] => Funkce je diferencovatelná, pokud se dá na okolí každého bodu aproximovat [[Lineární funkce|lineární funkcí]], odpovídající tečné přímce nebo rovině. Znamená to, že funkce je spojitá, nemá "hroty" a v žádném směru neroste nekonečně rychle. [6] => Funkce jedné reálné proměnné jsou diferencovatelné, pokud mají v daném bodě konečnou [[derivace|derivaci]]. [7] => Ilustrativní příklady: [8] => * f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},~f(x) = |x| není diferencovatelná v nule, neboť tam má "hrot". [9] => * f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},~f(x) = \sqrt[3]{x}. Tato funkce není diferencovatelná v bodě x = 0. Spojitá je všude v \mathbb{R}, ale v nule nekonečně rychle roste. [10] => * f(x,y) = \begin{cases}y & \text{pokud }y \ne x \\ 0 & \text{pokud }y = x\end{cases} má obě parciální derivace v (0, 0) (a dokonce i všechny [[derivace ve směru]]) a je v tomto bodě spojitá, ale ne diferencovatelná, neboť nemá tečnou rovinu (rovina {z=y} neaproximuje funkci dostatečně v bodech x=y). [11] => [12] => == Formální definice diferencovatelnosti funkce == [13] => Funkce f je diferencovatelná na množině M, pokud pro každé x \in M existuje její [[diferenciál (matematika)|diferenciál]] df(x). Funkce je ''spojitě diferencovatelná'', pokud se diferenciál mění bod od bodu spojitě. Funkce f definovaná na otevřené množině ''U'' je ''k krát spojitě diferencovatelná'', pokud má všechny [[parciální derivace]] k-tého řádu spojité. Značíme f\in C^k(U). [14] => [15] => == Popis diferencovatelných funkcí == [16] => [17] => === Funkce jedné reálné proměnné === [18] => Funkce f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} je v bodě c \in \mathbb{R} diferencovatelná právě tehdy, existuje-li konečná derivace funkce f\, v bodě c\,. Konečnost derivace je důležitá, neboť například [[funkce signum]] má v nule nekonečnou derivaci, ale ne diferenciál. [19] => [20] => Funkce f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} je na diferencovatelná na intervalu \mathrm{I} s krajními body a, jestliže jsou splněny tyto tři podmínky: [21] => [22] => # \forall x \in \left(a, b \right): f' \left( x \right) \in \mathbb{R} [23] => # a \in \mathrm{I}, \Rightarrow f'_+ \left( a \right) \in \mathbb{R} [24] => # b \in \mathrm{I}, \Rightarrow f'_- \left( b \right) \in \mathbb{R} [25] => [26] => Tedy funkce na jednorozměrném intervalu je diferencovatelná, pokud má konečnou derivaci ve všech [[vnitřní bod|vnitřních bodech]] i konečné jednostranné derivace v obou koncových bodech intervalu. [27] => [28] => Funkce ''f'' je spojitě diferencovatelná, pokud její derivace ''f' '' je spojitá. [29] => [30] => Někdy se diferencovatelnost uvažuje jen na [[otevřený interval|otevřených intervalech]], a pak v definici není druhá a třetí podmínka. [31] => [32] => === Funkce více reálných proměnných === [33] => Postačující podmínka pro existenci diferenciálu funkce f:\R^n\to\R v bodě ''c'' je existence a spojitost parciálních derivací ''f'' na okolí ''c''. Diferenciál se obvykle definuje na [[vnitřní bod|vnitřních bodech]] definičního oboru. Pokud existují na [[Otevřená množina|otevřené množině]] spojité parciální derivace ''f'' podle všech proměnných, je ''f'' spojitě diferencovatelná. [34] => [35] => === Funkce na hladké varietě === [36] => Funkce ''f'' definovaná na [[varieta (matematika)|hladké varietě]] M je diferencovatelná, pokud pro každou mapu g: M\to U\subset\R^n je složení f \circ g^{-1}: U\to\R diferencovatelná. [37] => [38] => === Zobrazení mezi vícerozměrnými prostory === [39] => Zobrazení \R^n\to\R^k je diferencovatelné, pokud je diferencovatelná každá jeho složka. Podobně pro zobrazení mezi libovolnými hladkými varietami. [40] => [41] => == Vlastnosti diferencovatelných funkcí == [42] => * Funkce, která je diferencovatelná v bodě, je v tomto bodě spojitá. Stejně pro libovolný interval. [43] => * Součet, rozdíl, součin diferencovatelných funkcí je též diferencovatelný. Podíl ''f/g'', kde g je nenulová, je diferencovatelný. [44] => * Složení diferencovatelných zobrazení je diferencovatelné. [45] => * Diferencovatelnou funkci lze aproximovat na okolí vnitřního bodu definičního oboru [[Taylorův polynom|Taylorovým polynomem]]. [46] => * Diferencovatelná funkce má všechny derivace ve směru a tato derivace závisí na směru lineárně. [47] => [48] => == Příklady == [49] => [[Soubor:Weierf.png|náhled|[[Weierstrassova funkce]] příklad [[spojitá funkce|spojité funkce]], která není diferencovatelná]] [50] => * [[Exponenciální funkce|Exponenciální]], [[logaritmická funkce|logaritmické]], [[Konstantní funkce|konstantní]], [[mocninná funkce|mocninné]], [[Goniometrická funkce|goniometrické]], [[Cyklometrické funkce|cyklometrické]], [[Hyperbolická funkce|hyperbolické]] a [[hyperbolometrická funkce]] jsou diferencovatelné na celém definičním oboru s výjimkou případně množiny izolovaných bodů. [51] => * Funkce f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;f(x)=\begin{cases}e^{(-1/x)}&\text{pokud }x>0,\\ 0&\text{pokud }x\le0,\end{cases} není [[analytická funkce|analytickou]], a přesto je diferencovatelná na celém \mathbb{R}. [52] => * Funkce definovaná předpisem f(x) \;=\; \begin{cases} x^2\sin (1/x) &\text{pokud }x \ne 0 \\ 0 & \text{pokud }x=0\end{cases} je diferencovatelná v bodě 0, ale není spojitě diferencovatelná, neboť její derivace není spojitá.Derivace této funkce má tvar :f'(x) = \begin{cases}-\mathord{\cos(1/x)} + 2x\sin{(1/x)} & \text{pokud }x \neq 0, \\ 0 &\text{pokud }x = 0.\end{cases} a tato zjevně nemá limitu pro x = 0. [53] => * [[Weierstrassova funkce]] přestože je spojitá na celém \mathbb{R} není v žádném bodě definičního oboru diferencovatelná. [54] => [55] => === Hladká funkce === [56] => {{Viz též|Hladká funkce}} [57] => Funkce ''f'' se nazve hladká na otevřené množině U, pokud má spojité derivace všech řádů (u funkce více proměnných parciální derivace). Značíme f \in C^\infty(U)=\cap_k C^k(U). [58] => [59] => === Holomorfní funkce === [60] => {{Viz též|holomorfní funkce}} [61] => Obdobou diferencovatelné funkce v oboru [[Komplexní číslo|komplexních čísel]] je [[holomorfní funkce]]. [62] => [63] => == Další významy == [64] => * Diferencovatelná struktura - atlas hladké [[varieta (matematika)|variety]]. [65] => * [[Diferenciální forma]] - hladká sekce kotečného bundlu variety [66] => * Diferencovatelný bundl - bundl, ve kterém jsou přechodové funkce diferencovatelné [67] => [68] => == Poznámky == [69] => [70] => [71] => == Související články == [72] => * [[Diferenciál (matematika)|Diferenciál]] [73] => * [[Derivace]] [74] => [75] => == Reference == [76] => * Kopáček, J.: Matematická analýza pro fyziky , I., II. díl, Matfyzpress [77] => * Fučík, S., Milota, J.: Matematická analýza II, Diferenciální počet funkcí více proměnných, skripta MFF UK, Praha, 1980 [78] => {{Autoritní data}} [79] => [80] => {{Portály|Matematika}} [81] => [82] => [[Kategorie:Diferenciální počet]] [83] => [[Kategorie:Vlastnosti matematických funkcí]] [] => )
good wiki

Diferencovatelnost

:: Pro porozumění tomuto článku je nutné znát pojem derivace a diferenciál. Příklad diferencovatelné funkce z R do R, jejího diferenciálu v bodě a její tečny Diferencovatelnost je v matematice vlastnost reálných funkcí anebo obecnějších geometrických struktur.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'Diferenciál (matematika)','vnitřní bod','funkce (matematika)','derivace','varieta (matematika)','Kategorie:Diferenciální počet','Diferenciální forma','matematika','matematická analýza','Hyperbolická funkce','Exponenciální funkce','Goniometrická funkce'

Derivace

Matematika